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Définition et repérageUn vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme). Dans un repère orthonormé, on peut le représenter par un couple de coordonnées. Par exemple, le vecteur \(\vec{AB}\) allant de A(2,3) à B(5,7) a pour coordonnées (3,4). Ces coordonnées indiquent le déplacement horizontal et vertical pour aller de A à B.
📖 Définition
Un vecteur \(\vec{u}\) est un objet mathématique défini par une direction, un sens et une longueur (norme).
📢 Rappel
Dans un repère, un point M est repéré par ses coordonnées (x_M, y_M).
💡 À retenir : Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme.
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Addition et multiplication par un réelOn peut additionner deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées. Si \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\), alors \(\vec{u}+\vec{v} = (x+x', y+y')\). On peut aussi multiplier un vecteur par un réel k : \(k\vec{u} = (k x, k y)\). Ces opérations permettent de combiner des translations.
📖 Définition
Somme de vecteurs : \(\vec{u}+\vec{v} = (x_u+x_v, y_u+y_v)\).
⭐ À retenir
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
💡 À retenir : L'addition de vecteurs correspond à la mise bout à bout de translations.
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Colinéarité et déterminantDeux vecteurs \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Cela se traduit par la nullité du déterminant : \(x y' - y x' = 0\). La colinéarité permet de prouver l'alignement de points ou le parallélisme de droites.
📖 Définition
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.
🔍 Exemple
\(\vec{u}(1,2)\) et \(\vec{v}(2,4)\) sont colinéaires car \(1\times4 - 2\times2 = 0\).
⭐ À retenir
Critère de colinéarité : \(x y' - y x' = 0\).
💡 À retenir : Le déterminant nul indique que les vecteurs sont colinéaires.
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Milieu, distance, alignementLes coordonnées du milieu I de [AB] sont \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\). La distance AB se calcule avec la norme du vecteur \(\vec{AB}\) : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\). Pour prouver que trois points A, B, C sont alignés, on vérifie que \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
📢 Rappel
La norme d'un vecteur \(\vec{u}(x,y)\) est \(\sqrt{x^2+y^2}\).
⭐ À retenir
A, B, C alignés ⇔ \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires.
💡 À retenir : La distance AB est la norme du vecteur \(\vec{AB}\).