Vecteurs et coordonnées

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme). Dans un repère orthonormé, on peut le représenter par un couple de coordonnées. Par exemple, le vecteur \(\vec{AB}\) allant de A(2,3) à B(5,7) a pour coordonnées (3,4). Ces coordonnées indiquent le déplacement horizontal et vertical pour aller de A à B.

On peut additionner deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées. Si \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\), alors \(\vec{u}+\vec{v} = (x+x', y+y')\). On peut aussi multiplier un vecteur par un réel k : \(k\vec{u} = (k x, k y)\). Ces opérations permettent de combiner des translations.

Deux vecteurs \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Cela se traduit par la nullité du déterminant : \(x y' - y x' = 0\). La colinéarité permet de prouver l'alignement de points ou le parallélisme de droites.

Les coordonnées du milieu I de [AB] sont \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\). La distance AB se calcule avec la norme du vecteur \(\vec{AB}\) : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\). Pour prouver que trois points A, B, C sont alignés, on vérifie que \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.