Arithmétique et nombres premiers

Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b (non nul) si le reste de la division euclidienne de a par b est 0. On dit alors que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b. Par exemple, 15 ÷ 3 = 5 reste 0, donc 3 est un diviseur de 15 et 15 est un multiple de 3. Les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 10) permettent de reconnaître rapidement les diviseurs d'un nombre. Cette notion est fondamentale pour décomposer les nombres et simplifier les fractions.

Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Par exemple, 17 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 17. En revanche, 15 n'est pas premier car il a plus de deux diviseurs (1, 3, 5, 15). Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... 2 est le seul nombre premier pair.

Tout nombre entier supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près). Pour décomposer un nombre, on le divise successivement par les nombres premiers dans l'ordre croissant (2, 3, 5, 7, 11...). Par exemple, 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5, donc 60 = 2² × 3 × 5. Cette décomposition est très utile pour simplifier des fractions ou trouver le PGCD.

La décomposition en facteurs premiers permet de simplifier facilement une fraction. On décompose le numérateur et le dénominateur, puis on barre les facteurs communs. Par exemple, pour simplifier 84/60 : 84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5. Les facteurs communs sont 2² et 3. On les supprime, il reste 7/5. La fraction simplifiée est donc 7/5. Cette méthode garantit d'obtenir la fraction irréductible en une seule étape.