Puissances et notation scientifique

Une puissance est une façon d'écrire une multiplication répétée d'un même nombre. Par exemple, 3⁴ (lire « 3 exposant 4 ») signifie 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Le nombre 3 est la base, 4 est l'exposant. On utilise les puissances pour simplifier l'écriture de grands nombres ou de petits nombres. Par convention, a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a ≠ 0).

Les puissances de 10 sont très utiles pour écrire des grands ou petits nombres. 10ⁿ (n positif) s'écrit avec un 1 suivi de n zéros : 10³ = 1000. Pour les exposants négatifs, 10⁻ⁿ = 1 / 10ⁿ = 0,0...01 avec n chiffres après la virgule. Exemple : 10⁻² = 0,01. Cela permet de manipuler facilement les ordres de grandeur.

La notation scientifique permet d'écrire un nombre sous la forme a × 10ⁿ, où a est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule (1 ≤ a < 10) et n est un entier relatif. Par exemple, la distance Terre-Soleil : 150 000 000 km = 1,5 × 10⁸ km. La taille d'une cellule : 0,000 002 m = 2 × 10⁻⁶ m. Pour trouver a, on déplace la virgule jusqu'à obtenir un nombre entre 1 et 10, puis on compte le nombre de déplacements pour déterminer n.

Pour multiplier deux puissances d'une même base, on additionne les exposants : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Pour diviser, on soustrait les exposants : aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants : (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ. Ces règles fonctionnent aussi avec les exposants négatifs. Exemple : 10³ × 10⁻² = 10³⁺⁽⁻²⁾ = 10¹ = 10.