Triangles égaux et semblables

Deux triangles sont égaux si on peut les superposer exactement : leurs côtés et leurs angles sont deux à deux de même mesure. Pour prouver que deux triangles sont égaux, on utilise trois cas : côté-côté-côté (CCC), côté-angle-côté (CAC) et angle-côté-angle (ACA). Attention, l'ordre des lettres indique la position des éléments connus. Ces cas évitent d'avoir à vérifier toutes les mesures.

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux égaux et leurs côtés proportionnels. Le rapport de proportionnalité k s'appelle le rapport de similitude. Si k > 1, le triangle est un agrandissement ; si k < 1, c'est une réduction. Pour démontrer la similitude, il suffit de trouver deux angles égaux (le troisième le sera forcément) ou de vérifier la proportionnalité des trois côtés.

Pour des triangles égaux, repère l'un des trois cas (CCC, CAC, ACA) dans l'énoncé. Pour des triangles semblables, cherche deux angles égaux ou trois côtés proportionnels. N'oublie pas que des triangles égaux sont un cas particulier de triangles semblables avec k = 1. Entraîne-toi à justifier chaque étape avec les propriétés du cours.

Les triangles égaux assurent la stabilité des structures (ponts, charpentes). Les triangles semblables servent à mesurer des hauteurs inaccessibles par la méthode de l'ombre : un bâton vertical et son ombre forment un triangle semblable à celui formé par un arbre et son ombre. On utilise aussi les échelles sur les cartes (rapport de similitude). Ces notions sont partout autour de nous !