Fonctions affines et linéaires

Une fonction linéaire est une fonction qui s'écrit f(x)=ax, où a est un nombre appelé coefficient directeur. Elle traduit une situation de proportionnalité : les valeurs de f(x) sont proportionnelles à x. Par exemple, si on roule à 60 km/h, la distance parcourue d (en km) en fonction du temps t (en h) est d(t)=60t. Le coefficient 60 est la vitesse. On peut calculer une image ou un antécédent facilement.

Une fonction affine est une fonction qui s'écrit f(x)=ax+b, où a et b sont des nombres. a est le coefficient directeur, il donne la pente de la droite. b est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de f(0). Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine avec b=0. Exemple concret : un taxi prend 2,50 € de prise en charge puis 1,20 € par km. Le prix P(x)=1,20x+2,50 est affine.

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Pour la tracer, on place d'abord le point (0;b) sur l'axe des ordonnées. Ensuite, on utilise le coefficient directeur a : depuis ce point, on se déplace de 1 unité vers la droite et de a unités verticalement (vers le haut si a>0, vers le bas si a<0). On obtient un deuxième point, puis on trace la droite. On peut aussi calculer les coordonnées de deux points avec un tableau de valeurs.

Pour trouver l'expression d'une fonction affine à partir de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB), on calcule d'abord le coefficient directeur a = (yB - yA) / (xB - xA). Ensuite, on trouve b en utilisant les coordonnées d'un point : b = yA - a×xA. On peut alors écrire f(x)=ax+b. Cette méthode permet de modéliser des situations réelles : forfaits téléphoniques, coûts de location, etc.