Une fonction linéaire est une fonction qui s'écrit f(x)=ax, où a est un nombre appelé coefficient directeur. Elle traduit une situation de proportionnalité : les valeurs de f(x) sont proportionnelles à x. Par exemple, si on roule à 60 km/h, la distance parcourue d (en km) en fonction du temps t (en h) est d(t)=60t. Le coefficient 60 est la vitesse. On peut calculer une image ou un antécédent facilement.
📖 Définition
Une fonction linéaire est de la forme f(x)=ax, où a est un réel.
🔍 Exemple
Distance = vitesse × temps : d(t)=60t est linéaire.
💡 À retenir : Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité.
Complète la phrase
Si f est une fonction linéaire telle que f(2)=6, alors son coefficient directeur est .
🚕
Généralisation avec partie fixe
Fonction affine : f(x)=ax+b
Une fonction affine est une fonction qui s'écrit f(x)=ax+b, où a et b sont des nombres. a est le coefficient directeur, il donne la pente de la droite. b est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de f(0). Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine avec b=0. Exemple concret : un taxi prend 2,50 € de prise en charge puis 1,20 € par km. Le prix P(x)=1,20x+2,50 est affine.
📖 Définition
Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b, avec a et b réels.
⭐ À retenir
Si b=0, la fonction est linéaire ; c'est un cas particulier.
💡 À retenir : b est l'ordonnée à l'origine : f(0)=b.
📉
Tracer une droite
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Pour la tracer, on place d'abord le point (0;b) sur l'axe des ordonnées. Ensuite, on utilise le coefficient directeur a : depuis ce point, on se déplace de 1 unité vers la droite et de a unités verticalement (vers le haut si a>0, vers le bas si a<0). On obtient un deuxième point, puis on trace la droite. On peut aussi calculer les coordonnées de deux points avec un tableau de valeurs.
📢 Rappel
Un point est repéré par ses coordonnées (x;y) dans un repère orthogonal.
⭐ À retenir
a s'appelle la pente : si a>0, la droite monte ; si a<0, elle descend.
💡 À retenir : La droite d'équation y=ax+b passe toujours par le point (0;b).
🧮
Déterminer une expression
Résoudre des problèmes
Pour trouver l'expression d'une fonction affine à partir de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB), on calcule d'abord le coefficient directeur a = (yB - yA) / (xB - xA). Ensuite, on trouve b en utilisant les coordonnées d'un point : b = yA - a×xA. On peut alors écrire f(x)=ax+b. Cette méthode permet de modéliser des situations réelles : forfaits téléphoniques, coûts de location, etc.
🔍 Exemple
Avec A(1;4) et B(3;10) : a=(10-4)/(3-1)=3, puis b=4-3×1=1, donc f(x)=3x+1.
⭐ À retenir
Toujours vérifier que l'expression trouvée fonctionne avec les deux points.
💡 À retenir : Pour déterminer a et b, il suffit de deux points distincts.