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Définition et vocabulaireUne équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue y à ses dérivées. L'ordre correspond au degré de dérivation le plus élevé : ici, premier ordre car seule y' apparaît. On s'intéresse aux équations linéaires du type y' = ay ou y' = ay + b, où a et b sont des constantes réelles. Résoudre une telle équation, c'est trouver toutes les fonctions y qui la vérifient. Ces équations modélisent de nombreux phénomènes : refroidissement, désintégration radioactive, circuits électriques.
📖 Définition
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme y' + p(x)y = q(x). Ici, p(x) = -a et q(x) = 0 ou b.
💡 À retenir : Une équation différentielle modélise l'évolution d'un phénomène.
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Résolution de y' = ayConsidérons l'équation homogène y' = ay, où a est une constante réelle. Les solutions sont les fonctions de la forme f(x) = C e^{ax}, avec C une constante réelle quelconque. En effet, en dérivant, on obtient f'(x) = a C e^{ax} = a f(x). Cette famille de fonctions est appelée solution générale. Pour une valeur de C particulière, on obtient une solution particulière.
📢 Rappel
La dérivée de e^{ax} est a e^{ax}.
🔍 Exemple
y' = 2y a pour solutions y(x) = C e^{2x}.
💡 À retenir : La solution générale de y' = ay est f(x) = C e^{ax}.
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Avec second membre constantPour résoudre y' = ay + b (a ≠ 0), on cherche d'abord une solution constante y_p. En posant y' = 0, on obtient 0 = a y_p + b, donc y_p = -b/a. La solution générale est alors la somme de la solution homogène et de cette solution particulière : y(x) = C e^{ax} - b/a. On peut vérifier en dérivant.
⭐ À retenir
La solution générale de y' = ay + b est y = C e^{ax} - b/a.
💡 À retenir : La solution constante est y_p = -b/a.
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Problème de CauchyUne condition initiale, comme y(x_0) = y_0, permet de fixer la constante C. On remplace x par x_0 et y par y_0 dans la solution générale, puis on résout pour C. Par exemple, pour y' = 2y avec y(0) = 5, on a 5 = C e^{0} donc C = 5, d'où y(x) = 5 e^{2x}. Cette solution unique est appelée solution du problème de Cauchy.
🔍 Exemple
y' = -y + 3, y(0) = 1 : solution générale y = C e^{-x} + 3, puis 1 = C + 3 ⇒ C = -2, donc y = -2 e^{-x} + 3.
💡 À retenir : Avec une condition initiale, la constante C est déterminée de manière unique.