Équations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue y à ses dérivées. L'ordre correspond au degré de dérivation le plus élevé : ici, premier ordre car seule y' apparaît. On s'intéresse aux équations linéaires du type y' = ay ou y' = ay + b, où a et b sont des constantes réelles. Résoudre une telle équation, c'est trouver toutes les fonctions y qui la vérifient. Ces équations modélisent de nombreux phénomènes : refroidissement, désintégration radioactive, circuits électriques.

Considérons l'équation homogène y' = ay, où a est une constante réelle. Les solutions sont les fonctions de la forme f(x) = C e^{ax}, avec C une constante réelle quelconque. En effet, en dérivant, on obtient f'(x) = a C e^{ax} = a f(x). Cette famille de fonctions est appelée solution générale. Pour une valeur de C particulière, on obtient une solution particulière.

Pour résoudre y' = ay + b (a ≠ 0), on cherche d'abord une solution constante y_p. En posant y' = 0, on obtient 0 = a y_p + b, donc y_p = -b/a. La solution générale est alors la somme de la solution homogène et de cette solution particulière : y(x) = C e^{ax} - b/a. On peut vérifier en dérivant.

Une condition initiale, comme y(x_0) = y_0, permet de fixer la constante C. On remplace x par x_0 et y par y_0 dans la solution générale, puis on résout pour C. Par exemple, pour y' = 2y avec y(0) = 5, on a 5 = C e^{0} donc C = 5, d'où y(x) = 5 e^{2x}. Cette solution unique est appelée solution du problème de Cauchy.