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Introduction aux lois continuesContrairement aux lois discrètes où la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs, une loi continue modélise une variable pouvant prendre toute valeur dans un intervalle. La probabilité d'un événement est alors donnée par l'aire sous une courbe appelée densité de probabilité. Pour une loi continue, la probabilité d'une valeur isolée est toujours nulle : on calcule P(a ≤ X ≤ b) via une intégrale. La densité f doit vérifier deux conditions : f(x) ≥ 0 et l'intégrale sur tout l'intervalle vaut 1. Nous allons étudier deux lois continues fondamentales : la loi uniforme et la loi exponentielle.
📢 Rappel
L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle [a;b] donne l'aire sous la courbe, ce qui correspond à une probabilité.
📖 Définition
Densité de probabilité : fonction f positive telle que ∫ f(x)dx = 1 sur le support de la loi.
💡 À retenir : Une loi continue est définie par sa densité de probabilité, et P(X = a) = 0 pour tout réel a.
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Loi uniforme sur [a;b]La loi uniforme sur un intervalle [a;b] modélise une variable aléatoire X dont la densité est constante sur [a;b] : f(x) = 1/(b−a). Cela signifie que tous les sous-intervalles de même longueur ont la même probabilité. La probabilité que X soit dans un sous-intervalle [c;d] est P(c ≤ X ≤ d) = (d−c)/(b−a). L'espérance est E(X) = (a+b)/2, et la variance V(X) = (b−a)²/12. Exemple concret : l'heure d'arrivée d'un bus entre 8h et 8h15 suit une loi uniforme sur [0;15].
🔍 Exemple
Un bus passe toutes les 15 minutes. Si vous arrivez au hasard, le temps d'attente suit une loi uniforme sur [0;15].
⭐ À retenir
La probabilité d'un intervalle est proportionnelle à sa longueur, indépendamment de sa position dans [a;b].
💡 À retenir : P(c ≤ X ≤ d) = (d−c)/(b−a) pour une loi uniforme sur [a;b].
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Loi exponentielleLa loi exponentielle de paramètre λ > 0 modélise souvent des durées de vie sans vieillissement (composants électroniques, temps d'attente). Sa densité est f(x) = λe^(−λx) pour x ≥ 0. La fonction de répartition est F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx). L'espérance est E(X) = 1/λ et la variance V(X) = 1/λ². Par exemple, si la durée de vie d'un atome radioactif suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,1, alors sa durée de vie moyenne est 10 unités de temps.
📖 Définition
Fonction de répartition : F(x) = P(X ≤ x). Pour la loi exponentielle, F(x) = 1 − e^(−λx).
🔍 Exemple
La durée de vie d'un noyau radioactif suit une loi exponentielle. λ est la constante de désintégration.
💡 À retenir : La loi exponentielle est caractérisée par l'absence de mémoire : P(X > t+h | X > t) = P(X > h).
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Propriété fondamentaleLa loi exponentielle est la seule loi continue sans mémoire : P(X > t+h | X > t) = P(X > h). Cela signifie que la probabilité de survivre encore h unités de temps ne dépend pas de l'âge déjà atteint. Cette propriété est cruciale en fiabilité pour modéliser des systèmes sans usure. Par exemple, la probabilité qu'un composant électronique fonctionne encore 100 heures sachant qu'il a déjà fonctionné 200 heures est la même que celle de fonctionner 100 heures à partir du début. On utilise aussi la loi exponentielle pour les temps d'attente entre événements rares (loi de Poisson).
⭐ À retenir
P(X > t+h | X > t) = P(X > h) = e^(−λh). La probabilité conditionnelle ne dépend pas de t.
🔍 Exemple
Un atome radioactif a une probabilité constante de se désintégrer par unité de temps, quel que soit son âge.
💡 À retenir : L'absence de mémoire rend la loi exponentielle unique pour modéliser des phénomènes sans vieillissement.