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Lois de probabilité continues : uniforme et exponentielle

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : De la variable discrète à la densité de probabilité

    Une loi continue est définie par sa densité de probabilité, et P(X = a) = 0 pour tout réel a.

  2. Chapitre 2 : Loi uniforme continue

    P(c ≤ X ≤ d) = (d−c)/(b−a) pour une loi uniforme sur [a;b].

  3. Chapitre 3 : Loi exponentielle : densité et propriétés

    La loi exponentielle est caractérisée par l'absence de mémoire : P(X > t+h | X > t) = P(X > h).

  4. Chapitre 4 : Absence de mémoire et applications

    L'absence de mémoire rend la loi exponentielle unique pour modéliser des phénomènes sans vieillissement.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Quelle est la densité de probabilité d'une loi uniforme sur [0;10] ?

    1. A.f(x) = 10
    2. B.f(x) = 1/10
    3. C.f(x) = 1
    4. D.f(x) = x/10
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    Réponse B : f(x) = 1/10

    La densité est constante et vaut 1/(b−a) = 1/10 sur l'intervalle [0;10].

  2. 2.Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [2;8]. Quelle est P(3 ≤ X ≤ 5) ?

    1. A.2/3
    2. B.1/4
    3. C.1/2
    4. D.1/3
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    Réponse D : 1/3

    P = (5−3)/(8−2) = 2/6 = 1/3.

  3. 3.L'espérance d'une loi uniforme sur [a;b] est :

    1. A.(b−a)/2
    2. B.1/(b−a)
    3. C.a+b
    4. D.(a+b)/2
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    Réponse D : (a+b)/2

    E(X) = (a+b)/2, le centre de l'intervalle.

  4. 4.La densité d'une loi exponentielle de paramètre λ = 0,5 est :

    1. A.f(x) = 0,5 e^(0,5x)
    2. B.f(x) = e^(−0,5x)
    3. C.f(x) = 0,5 e^(−0,5x)
    4. D.f(x) = 2 e^(−2x)
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    Réponse C : f(x) = 0,5 e^(−0,5x)

    f(x) = λ e^(−λx) = 0,5 e^(−0,5x) pour x ≥ 0.

  5. 5.Quelle est la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre λ ?

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    Réponse : F(x) = 1 − e^(−λx)

    F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx).

  6. 6.L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre λ = 4 est :

    1. A.1/16
    2. B.16
    3. C.1/4
    4. D.4
    Voir la réponse

    Réponse C : 1/4

    E(X) = 1/λ = 1/4.

  7. 7.Quelle propriété caractérise la loi exponentielle parmi les lois continues ?

    1. A.Son espérance est nulle
    2. B.L'absence de mémoire
    3. C.Sa densité est constante
    4. D.Sa variance est infinie
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    Réponse B : L'absence de mémoire

    La loi exponentielle est la seule loi continue sans mémoire : P(X > t+h | X > t) = P(X > h).

  8. 8.Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,2, que vaut P(X > 5) ?

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    Réponse : e^(−1)

    P(X > 5) = e^(−λ×5) = e^(−0,2×5) = e^(−1).