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Lois de probabilité continues : uniforme et exponentielle

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — De la variable discrète à la densité de probabilité

Une loi continue est définie par sa densité de probabilité, et P(X = a) = 0 pour tout réel a.

Chapitre 2 — Loi uniforme continue

P(c ≤ X ≤ d) = (d−c)/(b−a) pour une loi uniforme sur [a;b].

Chapitre 3 — Loi exponentielle : densité et propriétés

La loi exponentielle est caractérisée par l'absence de mémoire : P(X > t+h | X > t) = P(X > h).

Chapitre 4 — Absence de mémoire et applications

L'absence de mémoire rend la loi exponentielle unique pour modéliser des phénomènes sans vieillissement.

Teste-toi

1. Quelle est la densité de probabilité d'une loi uniforme sur [0;10] ?

Af(x) = 10
Bf(x) = 1/10
Cf(x) = 1
Df(x) = x/10
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Réponse : B — f(x) = 1/10

La densité est constante et vaut 1/(b−a) = 1/10 sur l'intervalle [0;10].

2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [2;8]. Quelle est P(3 ≤ X ≤ 5) ?

A1/2
B1/3
C1/4
D2/3
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Réponse : B — 1/3

P = (5−3)/(8−2) = 2/6 = 1/3.

3. L'espérance d'une loi uniforme sur [a;b] est :

A(b−a)/2
B(a+b)/2
Ca+b
D1/(b−a)
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Réponse : B — (a+b)/2

E(X) = (a+b)/2, le centre de l'intervalle.

4. La densité d'une loi exponentielle de paramètre λ = 0,5 est :

Af(x) = 0,5 e^(0,5x)
Bf(x) = 0,5 e^(−0,5x)
Cf(x) = e^(−0,5x)
Df(x) = 2 e^(−2x)
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Réponse : B — f(x) = 0,5 e^(−0,5x)

f(x) = λ e^(−λx) = 0,5 e^(−0,5x) pour x ≥ 0.

5. Quelle est la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre λ ?

AF(x) = e^(−λx)
BF(x) = 1 − e^(−λx)
CF(x) = λ e^(−λx)
DF(x) = 1 − λ e^(−λx)
Voir la réponse

Réponse : B — F(x) = 1 − e^(−λx)

F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx).

6. L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre λ = 4 est :

A4
B1/4
C1/16
D16
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Réponse : B — 1/4

E(X) = 1/λ = 1/4.

7. Quelle propriété caractérise la loi exponentielle parmi les lois continues ?

ASa densité est constante
BSon espérance est nulle
CL'absence de mémoire
DSa variance est infinie
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Réponse : C — L'absence de mémoire

La loi exponentielle est la seule loi continue sans mémoire : P(X > t+h | X > t) = P(X > h).

8. Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,2, que vaut P(X > 5) ?

Ae^(−1)
B1 − e^(−1)
Ce^(−0,2)
D0,2 e^(−1)
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Réponse : A — e^(−1)

P(X > 5) = e^(−λ×5) = e^(−0,2×5) = e^(−1).

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