Limites et continuité

Imaginez que vous vous approchez d'un mur sans jamais le toucher : la distance tend vers 0. En mathématiques, la limite d'une fonction \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) (ou l'infini) décrit le comportement de \(f(x)\) si \(x\) se rapproche indéfiniment de \(a\). On note \(\lim_{x \to a} f(x) = L\). Si \(f(x)\) devient arbitrairement grand, on écrit \(\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\). Les asymptotes horizontales ou verticales sont des droites vers lesquelles la courbe se rapproche sans jamais les atteindre.

Pour calculer une limite, on utilise les limites usuelles (polynômes, racine, exponentielle, logarithme) et les règles sur les sommes, produits, quotients. Attention aux formes indéterminées comme \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\). On lève l'indétermination en factorisant, en simplifiant ou en utilisant le terme dominant. Par exemple, pour \(x \to +\infty\), la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.

Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Graphiquement, cela signifie que la courbe ne présente pas de « saut » en \(a\). Les fonctions usuelles (polynômes, racine carrée, exponentielle, logarithme) sont continues sur leur ensemble de définition. Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle. La continuité permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Si \(f\) est continue sur un intervalle \([a;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) dans \([a;b]\) tel que \(f(c)=k\). Ce théorème garantit l'existence de solutions. Si de plus \(f\) est strictement monotone sur \([a;b]\), alors la solution \(c\) est unique. On utilise ce corollaire pour encadrer les solutions d'équations du type \(f(x)=0\).