Imaginez que vous vous approchez d'un mur sans jamais le toucher : la distance tend vers 0. En mathématiques, la limite d'une fonction \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) (ou l'infini) décrit le comportement de \(f(x)\) si \(x\) se rapproche indéfiniment de \(a\). On note \(\lim_{x \to a} f(x) = L\). Si \(f(x)\) devient arbitrairement grand, on écrit \(\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\). Les asymptotes horizontales ou verticales sont des droites vers lesquelles la courbe se rapproche sans jamais les atteindre.
📖 Définition
Asymptote horizontale : si \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\), la droite \(y = L\) est asymptote horizontale.
🔍 Exemple
Pour \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=0\), donc \(y=0\) est asymptote horizontale.
💡 À retenir : La limite décrit le comportement d'une fonction au voisinage d'un point ou à l'infini.
Pour calculer une limite, on utilise les limites usuelles (polynômes, racine, exponentielle, logarithme) et les règles sur les sommes, produits, quotients. Attention aux formes indéterminées comme \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\). On lève l'indétermination en factorisant, en simplifiant ou en utilisant le terme dominant. Par exemple, pour \(x \to +\infty\), la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
Pour lever une indétermination, factorisez le terme dominant.
💡 À retenir : La limite d'une somme est la somme des limites, sauf en cas de forme indéterminée.
🔗
Notion de continuité
Continuité en un point et sur un intervalle
Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Graphiquement, cela signifie que la courbe ne présente pas de « saut » en \(a\). Les fonctions usuelles (polynômes, racine carrée, exponentielle, logarithme) sont continues sur leur ensemble de définition. Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle. La continuité permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
📖 Définition
Continuité en \(a\) : \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).
🔍 Exemple
La fonction valeur absolue est continue sur \(\mathbb{R}\).
💡 À retenir : \(f\) est continue en \(a\) si la limite en \(a\) existe, est finie et égale à \(f(a)\).
🎯
Théorème des valeurs intermédiaires
TVI et résolution d'équations
Si \(f\) est continue sur un intervalle \([a;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) dans \([a;b]\) tel que \(f(c)=k\). Ce théorème garantit l'existence de solutions. Si de plus \(f\) est strictement monotone sur \([a;b]\), alors la solution \(c\) est unique. On utilise ce corollaire pour encadrer les solutions d'équations du type \(f(x)=0\).
⭐ À retenir
Corollaire : si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([a;b]\).
💡 À retenir : Le TVI assure l'existence d'une solution à \(f(x)=k\) lorsque \(f\) est continue.