Limites et continuité
Ce que tu dois retenir
La limite décrit le comportement d'une fonction au voisinage d'un point ou à l'infini.
La limite d'une somme est la somme des limites, sauf en cas de forme indéterminée.
\(f\) est continue en \(a\) si la limite en \(a\) existe, est finie et égale à \(f(a)\).
Le TVI assure l'existence d'une solution à \(f(x)=k\) lorsque \(f\) est continue.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Quelle est la limite de \(f(x) = \frac{1}{x}\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives ?
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Réponse : B — B. +∞
Lorsque \(x\) s'approche de 0 par la droite, \(\frac{1}{x}\) devient arbitrairement grand, donc la limite est \(+\infty\).
2. Soit \(f(x) = \frac{3x^2+2x-1}{x^2+1}\). Quelle est la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
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Réponse : B — B. 3
On factorise par le terme dominant : \(f(x) = \frac{3 + 2/x - 1/x^2}{1 + 1/x^2} \to \frac{3}{1} = 3\).
3. Parmi les propositions suivantes, laquelle est une forme indéterminée ?
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Réponse : B — B. 0 × ∞
\(0 \times \infty\) est une forme indéterminée, contrairement à \(\infty+\infty=\infty\), \(\infty\times\infty=\infty\), \(0/\infty=0\).
4. Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si :
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Réponse : C — C. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
La définition de la continuité en \(a\) est \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).
5. La fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) est continue sur :
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Réponse : B — B. \([0;+\infty[\)
La racine carrée est définie et continue sur \([0;+\infty[\).
6. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, si \(f\) est continue sur \([0;2]\) avec \(f(0)= -3\) et \(f(2)=5\), alors l'équation \(f(x)=0\) :
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Réponse : C — C. a au moins une solution
Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution car 0 est compris entre -3 et 5.
7. Si \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([1;4]\) avec \(f(1)=10\) et \(f(4)=2\), combien de solutions a l'équation \(f(x)=5\) ?
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Réponse : B — B. 1
Avec la stricte monotonie, le corollaire du TVI assure une unique solution car 5 est entre 2 et 10.
8. Quelle est la limite de \(f(x) = e^x\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) ?
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Réponse : B — B. 0
La fonction exponentielle tend vers 0 en \(-\infty\).