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Limites et continuité

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Qu'est-ce qu'une limite ?

    La limite décrit le comportement d'une fonction au voisinage d'un point ou à l'infini.

  2. Chapitre 2 : Opérations sur les limites

    La limite d'une somme est la somme des limites, sauf en cas de forme indéterminée.

  3. Chapitre 3 : Continuité en un point et sur un intervalle

    \(f\) est continue en \(a\) si la limite en \(a\) existe, est finie et égale à \(f(a)\).

  4. Chapitre 4 : TVI et résolution d'équations

    Le TVI assure l'existence d'une solution à \(f(x)=k\) lorsque \(f\) est continue.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Quelle est la limite de \(f(x) = \frac{1}{x}\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives ?

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    Réponse : +∞

    Lorsque \(x\) s'approche de 0 par la droite, \(\frac{1}{x}\) devient arbitrairement grand, donc la limite est \(+\infty\).

  2. 2.Soit \(f(x) = \frac{3x^2+2x-1}{x^2+1}\). Quelle est la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ?

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    Réponse : 3

    On factorise par le terme dominant : \(f(x) = \frac{3 + 2/x - 1/x^2}{1 + 1/x^2} \to \frac{3}{1} = 3\).

  3. 3.Parmi les propositions suivantes, laquelle est une forme indéterminée ?

    1. A.0/∞
    2. B.∞ + ∞
    3. C.0 × ∞
    4. D.∞ × ∞
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    Réponse C : 0 × ∞

    \(0 \times \infty\) est une forme indéterminée, contrairement à \(\infty+\infty=\infty\), \(\infty\times\infty=\infty\), \(0/\infty=0\).

  4. 4.Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si :

    1. A.\(f(a)\) existe
    2. B.\(\lim_{x \to a} f(x)\) existe
    3. C.\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
    4. D.\(f\) est dérivable en \(a\)
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    Réponse C : \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

    La définition de la continuité en \(a\) est \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

  5. 5.La fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) est continue sur :

    1. A.\(]0;+\infty[\)
    2. B.\(\mathbb{R}\)
    3. C.\([0;+\infty[\)
    4. D.\(\mathbb{R}^*\)
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    Réponse C : \([0;+\infty[\)

    La racine carrée est définie et continue sur \([0;+\infty[\).

  6. 6.D'après le théorème des valeurs intermédiaires, si \(f\) est continue sur \([0;2]\) avec \(f(0)= -3\) et \(f(2)=5\), alors l'équation \(f(x)=0\) :

    1. A.n'a pas de solution
    2. B.a exactement une solution
    3. C.a au moins une solution
    4. D.a une infinité de solutions
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    Réponse C : a au moins une solution

    Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution car 0 est compris entre -3 et 5.

  7. 7.Si \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([1;4]\) avec \(f(1)=10\) et \(f(4)=2\), combien de solutions a l'équation \(f(x)=5\) ?

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    Réponse : 1

    Avec la stricte monotonie, le corollaire du TVI assure une unique solution car 5 est entre 2 et 10.

  8. 8.Quelle est la limite de \(f(x) = e^x\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) ?

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    Réponse : 0

    La fonction exponentielle tend vers 0 en \(-\infty\).