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Une première approcheImaginez un jeu de 32 cartes. On tire une carte au hasard. La probabilité que ce soit un roi est 4/32 = 1/8. Maintenant, si on sait que la carte est une figure (valet, dame, roi), la probabilité change : parmi les 12 figures, il y a 4 rois, donc la probabilité devient 4/12 = 1/3. Cette probabilité, sachant une information, est une probabilité conditionnelle. On la note $P_F(R) = 1/3$, où $F$ est l'événement « la carte est une figure » et $R$ « la carte est un roi ».
📖 Définition
Probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ si $P(A) \neq 0$.
🔍 Exemple
Dans un lycée, 60% des élèves sont des filles. 30% des filles étudient l'allemand. La probabilité qu'un élève soit une fille étudiant l'allemand est $0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.
💡 À retenir : Une probabilité conditionnelle réévalue la chance d'un événement en tenant compte d'une information connue.
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Représenter et calculerUn arbre pondéré permet de visualiser des expériences aléatoires successives. Sur les branches, on inscrit des probabilités conditionnelles. La règle : la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1. Pour calculer la probabilité d'une issue (chemin), on multiplie les probabilités le long de ce chemin. Pour un événement, on additionne les probabilités des chemins qui y mènent.
📢 Rappel
L'intersection $A \cap B$ est l'événement « $A$ et $B$ sont réalisés simultanément ».
⭐ À retenir
Dans un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins d'un même événement.
💡 À retenir : Un arbre pondéré traduit les probabilités conditionnelles et facilite les calculs.
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Quand les événements n'ont pas d'influenceDeux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par $P_A(B) = P(B)$ ou $P_B(A) = P(A)$. Une définition équivalente est $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Attention, ne pas confondre indépendance et incompatibilité ($A \cap B = \emptyset$). L'indépendance est une notion probabiliste, l'incompatibilité est ensembliste.
⭐ À retenir
Pour vérifier l'indépendance, on peut comparer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$.
💡 À retenir : $A$ et $B$ indépendants $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
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Recomposer une probabilitéLorsqu'on connaît les probabilités conditionnelles par rapport à une partition de l'univers (par exemple $A$ et son complémentaire $\overline{A}$), on peut calculer la probabilité d'un événement $B$. La formule des probabilités totales s'écrit : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. Cette formule est très utile pour résoudre des problèmes à deux étapes.
📖 Définition
Une partition de l'univers est un ensemble d'événements disjoints dont la réunion est l'univers entier (ex: $A$ et $\overline{A}$).
💡 À retenir : La formule des probabilités totales permet de calculer $P(B)$ en décomposant selon une partition.