Fonctions trigonométriques : sinus et cosinus

En terminale, on définit le sinus et le cosinus d’un réel x à l’aide du cercle trigonométrique de rayon 1. Le cosinus est l’abscisse du point M associé à l’angle x, le sinus est son ordonnée. Ces fonctions sont 2π-périodiques : pour tout réel x, cos(x+2π)=cos x et sin(x+2π)=sin x. Le cosinus est pair, le sinus est impair. L’identité fondamentale cos²x+sin²x=1 découle directement du théorème de Pythagore.

Les valeurs remarquables se lisent sur le cercle : cos 0=1, sin 0=0 ; cos π/6=√3/2, sin π/6=1/2 ; cos π/4=√2/2, sin π/4=√2/2 ; cos π/3=1/2, sin π/3=√3/2 ; cos π/2=0, sin π/2=1. La courbe de cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, celle de sinus par rapport à l’origine. Les deux oscillent entre -1 et 1, avec une période de 2π. Le déphasage entre les deux courbes est de π/2 : cos x = sin(x+π/2).

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ. Leurs dérivées sont : sin'(x)=cos x et cos'(x)=-sin x. On en déduit les variations sur [0;π] : cosinus décroît de 1 à -1, sinus croît de 0 à 1 puis décroît de 1 à 0. Ces dérivées permettent d’étudier des mouvements oscillants : si x(t)=A sin(ωt+φ), alors la vitesse est x'(t)=Aω cos(ωt+φ).

Pour résoudre cos x = cos a, on écrit x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ, avec k entier relatif. Pour sin x = sin a, on écrit x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ. Ces équations modélisent des phénomènes périodiques : marées, courant alternatif, ondes sonores. Par exemple, la hauteur d’eau dans un port peut s’écrire h(t)=3+2 sin(πt/6), où t est en heures.