Théorème de Thalès

Selon la légende, Thalès mesura la hauteur de la pyramide de Khéops en comparant l'ombre d'un bâton à celle de la pyramide. Les rayons du soleil étant parallèles, les triangles formés sont proportionnels. Cette idée simple est à la base du théorème : dans une configuration avec deux droites sécantes et deux droites parallèles, les longueurs des côtés sont proportionnelles. On peut ainsi calculer une hauteur inaccessible.

On considère deux droites sécantes en A, avec M et B sur l'une, N et C sur l'autre. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles. Cela se traduit par l'égalité des trois rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Ce théorème permet de calculer une longueur inconnue dans cette configuration.

Prenons un exemple : dans un triangle ABC, M est sur [AB], N sur [AC] et (MN)//(BC). On donne AB = 8 cm, AM = 3 cm, AN = 4 cm, BC = 10 cm. On écrit les rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC. On remplace : 3/8 = 4/AC = MN/10. Pour trouver AC, on résout 3/8 = 4/AC, donc AC = (4×8)÷3 ≈ 10,7 cm. Pour MN, 3/8 = MN/10, donc MN = (3×10)÷8 = 3,75 cm.

La réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Attention : l'ordre des points est essentiel. On vérifie d'abord l'alignement, puis l'égalité des rapports.