Géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗, k⃗). Tout point M est repéré par un triplet (x, y, z). Un vecteur u⃗ a pour coordonnées (x, y, z) et on peut l'additionner, le multiplier par un réel ou calculer sa norme. La distance entre deux points A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) se calcule avec la formule de la norme du vecteur AB⃗. Les opérations sur les coordonnées sont une extension naturelle de la géométrie plane.

Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ de l'espace se définit comme en 2D : u⃗·v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(u⃗, v⃗). En repère orthonormé, si u⃗(x; y; z) et v⃗(x'; y'; z'), alors u⃗·v⃗ = xx' + yy' + zz'. Cette expression permet de démontrer l'orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. On l'utilise aussi pour calculer des angles ou des longueurs.

Une droite de l'espace passant par A(x0, y0, z0) et de vecteur directeur u⃗(a, b, c) admet une représentation paramétrique : x = x0 + t a, y = y0 + t b, z = z0 + t c, avec t réel. Un plan peut être défini par une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) est un vecteur normal au plan. Pour déterminer une équation de plan, on utilise un point et un vecteur normal.

Pour étudier l'intersection d'une droite et d'un plan, on remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan. On obtient une équation en t : si elle a une solution unique, la droite coupe le plan en un point ; si elle est impossible, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est vraie pour tout t, la droite est incluse dans le plan. Pour deux plans, on compare leurs vecteurs normaux : s'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles (éventuellement confondus).