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De la 2D à la 3DL'espace est muni d'un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗, k⃗). Tout point M est repéré par un triplet (x, y, z). Un vecteur u⃗ a pour coordonnées (x, y, z) et on peut l'additionner, le multiplier par un réel ou calculer sa norme. La distance entre deux points A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) se calcule avec la formule de la norme du vecteur AB⃗. Les opérations sur les coordonnées sont une extension naturelle de la géométrie plane.
📢 Rappel
En 2D, un repère orthonormé (O, I, J) ; en 3D, on ajoute un troisième axe (Oz) perpendiculaire au plan (Oxy).
📖 Définition
Base orthonormée : trois vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux.
💡 À retenir : Un vecteur dans l'espace est défini par trois coordonnées (x, y, z).
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Généralisation du produit scalaireLe produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ de l'espace se définit comme en 2D : u⃗·v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(u⃗, v⃗). En repère orthonormé, si u⃗(x; y; z) et v⃗(x'; y'; z'), alors u⃗·v⃗ = xx' + yy' + zz'. Cette expression permet de démontrer l'orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. On l'utilise aussi pour calculer des angles ou des longueurs.
📢 Rappel
En 2D, u⃗·v⃗ = ||u⃗|| ||v⃗|| cos(u⃗, v⃗) = xx' + yy'.
⭐ À retenir
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
💡 À retenir : Le produit scalaire permet de caractériser l'orthogonalité dans l'espace.
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Représentations paramétriques et cartésiennesUne droite de l'espace passant par A(x0, y0, z0) et de vecteur directeur u⃗(a, b, c) admet une représentation paramétrique : x = x0 + t a, y = y0 + t b, z = z0 + t c, avec t réel. Un plan peut être défini par une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) est un vecteur normal au plan. Pour déterminer une équation de plan, on utilise un point et un vecteur normal.
📖 Définition
Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tout vecteur du plan.
⭐ À retenir
Pour trouver une équation cartésienne de plan, on écrit ax+by+cz+d=0 et on détermine d avec un point.
💡 À retenir : Un plan est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal.
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Droites, plans : sécants, parallèles ou confondusPour étudier l'intersection d'une droite et d'un plan, on remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan. On obtient une équation en t : si elle a une solution unique, la droite coupe le plan en un point ; si elle est impossible, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est vraie pour tout t, la droite est incluse dans le plan. Pour deux plans, on compare leurs vecteurs normaux : s'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles (éventuellement confondus).
📢 Rappel
Résoudre un système d'équations paramétriques et cartésiennes.
🔍 Exemple
Intersection de la droite (x=1+t, y=2-t, z=3+2t) avec le plan x+y+z=6 : on remplace, on trouve t=0, point (1,2,3).
💡 À retenir : L'intersection d'une droite et d'un plan est soit un point, soit la droite elle-même, soit vide.