Géométrie dans l'espace
Ce que tu dois retenir
Un vecteur dans l'espace est défini par trois coordonnées (x, y, z).
Le produit scalaire permet de caractériser l'orthogonalité dans l'espace.
Un plan est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal.
L'intersection d'une droite et d'un plan est soit un point, soit la droite elle-même, soit vide.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Soient A(1; 2; 3) et B(4; 5; 6). Les coordonnées du vecteur AB⃗ sont :
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Réponse : A — (3; 3; 3)
AB⃗ = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3).
2. La distance entre les points A(1; 0; 0) et B(0; 1; 0) est :
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Réponse : B — √2
AB = √((0-1)² + (1-0)² + (0-0)²) = √(1+1+0) = √2.
3. Le produit scalaire de u⃗(1; 2; 3) et v⃗(-1; 0; 1) vaut :
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Réponse : A — 2
u⃗·v⃗ = 1×(-1) + 2×0 + 3×1 = -1 + 0 + 3 = 2.
4. Les vecteurs u⃗(1; 2; 3) et v⃗(2; -1; 0) sont-ils orthogonaux ?
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Réponse : A — Oui
u⃗·v⃗ = 1×2 + 2×(-1) + 3×0 = 2 - 2 + 0 = 0, donc ils sont orthogonaux.
5. Une équation cartésienne du plan de vecteur normal n⃗(1; -1; 2) passant par A(0; 1; -1) est :
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Réponse : A — x - y + 2z + 3 = 0
Forme : x - y + 2z + d = 0. Avec A : 0 - 1 + 2×(-1) + d = 0 → -1 -2 + d = 0 → d = 3.
6. Parmi ces points, lequel appartient à la droite de représentation paramétrique x=1+2t, y=-t, z=2+t ?
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Réponse : A — (3; -1; 3)
Pour t=1 : x=3, y=-1, z=3. Les autres points ne correspondent à aucune valeur de t unique.
7. L'intersection de la droite (x=1+t, y=2-t, z=3+2t) avec le plan x+y+z=6 est :
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Réponse : A — (1; 2; 3)
En substituant : (1+t)+(2-t)+(3+2t)=6 → 6+2t=6 → t=0, donc point (1,2,3).
8. Deux plans d'équations x+y+z=1 et 2x+2y+2z=2 sont :
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Réponse : C — confondus
La deuxième équation est le double de la première, donc les plans sont identiques (confondus).