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Géométrie dans l'espace

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Repère et vecteurs dans l'espace

    Un vecteur dans l'espace est défini par trois coordonnées (x, y, z).

  2. Chapitre 2 : Produit scalaire dans l'espace

    Le produit scalaire permet de caractériser l'orthogonalité dans l'espace.

  3. Chapitre 3 : Équations de plans et de droites

    Un plan est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal.

  4. Chapitre 4 : Intersections et positions relatives

    L'intersection d'une droite et d'un plan est soit un point, soit la droite elle-même, soit vide.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Soient A(1; 2; 3) et B(4; 5; 6). Les coordonnées du vecteur AB⃗ sont :

    1. A.(5; 7; 9)
    2. B.(4; 5; 6)
    3. C.(-3; -3; -3)
    4. D.(3; 3; 3)
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    Réponse D : (3; 3; 3)

    AB⃗ = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3).

  2. 2.La distance entre les points A(1; 0; 0) et B(0; 1; 0) est :

    1. A.2
    2. B.1
    3. C.√3
    4. D.√2
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    Réponse D : √2

    AB = √((0-1)² + (1-0)² + (0-0)²) = √(1+1+0) = √2.

  3. 3.Le produit scalaire de u⃗(1; 2; 3) et v⃗(-1; 0; 1) vaut :

    1. A.4
    2. B.0
    3. C.-2
    4. D.2
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    Réponse D : 2

    u⃗·v⃗ = 1×(-1) + 2×0 + 3×1 = -1 + 0 + 3 = 2.

  4. 4.Les vecteurs u⃗(1; 2; 3) et v⃗(2; -1; 0) sont-ils orthogonaux ?

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    Réponse : Oui

    u⃗·v⃗ = 1×2 + 2×(-1) + 3×0 = 2 - 2 + 0 = 0, donc ils sont orthogonaux.

  5. 5.Une équation cartésienne du plan de vecteur normal n⃗(1; -1; 2) passant par A(0; 1; -1) est :

    1. A.x - y + 2z + 3 = 0
    2. B.x - y + 2z + 1 = 0
    3. C.x - y + 2z - 3 = 0
    4. D.x - y + 2z = 0
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    Réponse A : x - y + 2z + 3 = 0

    Forme : x - y + 2z + d = 0. Avec A : 0 - 1 + 2×(-1) + d = 0 → -1 -2 + d = 0 → d = 3.

  6. 6.Parmi ces points, lequel appartient à la droite de représentation paramétrique x=1+2t, y=-t, z=2+t ?

    1. A.(0; 1; 1)
    2. B.(3; -1; 3)
    3. C.(5; -2; 4)
    4. D.(1; 0; 2)
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    Réponse B : (3; -1; 3)

    Pour t=1 : x=3, y=-1, z=3. Les autres points ne correspondent à aucune valeur de t unique.

  7. 7.L'intersection de la droite (x=1+t, y=2-t, z=3+2t) avec le plan x+y+z=6 est :

    1. A.(0; 3; 3)
    2. B.(2; 1; 3)
    3. C.(1; 1; 4)
    4. D.(1; 2; 3)
    Voir la réponse

    Réponse D : (1; 2; 3)

    En substituant : (1+t)+(2-t)+(3+2t)=6 → 6+2t=6 → t=0, donc point (1,2,3).

  8. 8.Deux plans d'équations x+y+z=1 et 2x+2y+2z=2 sont :

    1. A.sécants
    2. B.orthogonaux
    3. C.parallèles distincts
    4. D.confondus
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    Réponse D : confondus

    La deuxième équation est le double de la première, donc les plans sont identiques (confondus).