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Découvrir la forme généraleUne équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. Le terme ax² est celui qui donne le degré 2 à l'équation. Dans la vie courante, on la rencontre pour calculer une aire, une trajectoire ou un profit maximal. Par exemple, l'aire d'un carré de côté x augmenté de 3 m donne x² + 6x + 9 = 25. Pour la résoudre en seconde, on utilise surtout la factorisation et la racine carrée.
📖 Définition
Forme générale : ax² + bx + c = 0 avec a, b, c réels et a ≠ 0.
📢 Rappel
Une équation produit nul se résout en annulant chaque facteur.
💡 À retenir : Une équation du second degré contient toujours un terme en x².
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Factoriser pour résoudreQuand l'équation est déjà factorisée, on applique la règle du produit nul. Par exemple, (2x - 3)(x + 1) = 0 donne 2x - 3 = 0 ou x + 1 = 0. On résout chaque équation du premier degré séparément. Les solutions sont donc x = 1,5 et x = -1. Cette méthode est très efficace pour les équations du second degré factorisables.
⭐ À retenir
Toujours écrire « ou » entre les deux équations, jamais « et ».
🔍 Exemple
(x-2)(x+5)=0 donne x=2 ou x=-5.
💡 À retenir : Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
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Utiliser la racine carréeUne équation du type x² = a se résout selon le signe de a. Si a > 0, il y a deux solutions opposées : x = √a et x = -√a. Si a = 0, la seule solution est x = 0. Si a < 0, il n'y a aucune solution réelle car un carré est toujours positif ou nul. Par exemple, x² = 25 donne x = 5 ou x = -5.
📢 Rappel
La racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a.
⭐ À retenir
Pour a > 0, x² = a admet deux solutions opposées.
💡 À retenir : Un carré est toujours positif ou nul, donc x² = a n'a de solution que si a ≥ 0.
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Étudier le signePour résoudre une inéquation comme (x - 2)(x + 3) > 0, on étudie le signe de chaque facteur. Les racines sont 2 et -3. On dresse un tableau de signes sur trois intervalles. Le produit est positif à l'extérieur des racines, donc sur ]-∞ ; -3[ ∪ ]2 ; +∞[. Avec le symbole ≥, on inclut les racines dans l'ensemble des solutions.
📖 Définition
Une inéquation du second degré compare une expression du second degré à 0 avec <, >, ≤ ou ≥.
⭐ À retenir
Le produit de deux facteurs est négatif entre les racines, positif à l'extérieur.
💡 À retenir : Le signe d'un produit se détermine avec un tableau de signes.