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Forme réduiteDans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y = mx + p. Le nombre m est le coefficient directeur : il indique la pente de la droite. Le nombre p est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Si la droite est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), son équation est x = c, où c est une constante.
📖 Définition
Le coefficient directeur m mesure l'inclinaison de la droite. Si m > 0, la droite monte ; si m < 0, elle descend ; si m = 0, elle est horizontale.
🔍 Exemple
La droite d'équation y = 2x - 3 a pour coefficient directeur 2 et pour ordonnée à l'origine -3. Elle coupe l'axe des ordonnées en (0 ; -3).
💡 À retenir : y = mx + p : m = coefficient directeur, p = ordonnée à l'origine
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Calcul du coefficient directeurPour trouver le coefficient directeur m d'une droite passant par deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB), on utilise la formule m = (yB - yA) / (xB - xA). Une fois m connu, on calcule p en remplaçant x et y par les coordonnées d'un des points dans y = mx + p. Si la droite est donnée par un point et son coefficient directeur, on détermine directement p.
💡 À retenir : m = (yB - yA) / (xB - xA) puis p = yA - m * xA
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Forme cartésienneToute droite du plan peut aussi être décrite par une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, où a, b et c sont des réels avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Le vecteur de coordonnées (-b ; a) est un vecteur directeur de la droite. On peut passer de la forme réduite à la forme cartésienne et inversement, sauf pour les droites verticales (x = constante) qui n'ont pas de forme réduite.
📢 Rappel
Un vecteur directeur d'une droite donne sa direction. Pour une droite d'équation y = mx + p, un vecteur directeur est (1 ; m).
⭐ À retenir
La forme cartésienne permet de représenter toutes les droites, y compris verticales, contrairement à la forme réduite.
💡 À retenir : ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0)
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Positions relativesDeux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux (m1 = m2). Si elles ont aussi la même ordonnée à l'origine, elles sont confondues. Deux droites sont sécantes si leurs coefficients directeurs sont différents. Pour trouver le point d'intersection de deux droites sécantes, on résout le système formé par leurs équations.
💡 À retenir : Parallèles ⇔ m1 = m2 ; Sécantes ⇔ m1 ≠ m2