Imaginez une voiture qui accélère : sa vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne sur un tout petit intervalle de temps. En mathématiques, le nombre dérivé d'une fonction f en un point a mesure la vitesse de variation instantanée de f en a. On part du taux d'accroissement entre a et a+h : (f(a+h)-f(a))/h. En faisant tendre h vers 0, on obtient, si la limite existe, le nombre dérivé f'(a). Cette limite représente la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
📢 Rappel
Le coefficient directeur d'une droite passant par A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) est (y_B-y_A)/(x_B-x_A).
📖 Définition
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite, si elle existe, de (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0.
💡 À retenir : f'(a) est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0.
Complète la phrase
Pour f(x)=x^2, le taux d'accroissement entre 1 et 1+h simplifié est .
📐
Équation de la tangente
Tangente et approximation affine
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. La tangente est la droite qui 'frôle' la courbe en ce point, donnant la meilleure approximation affine de f au voisinage de a. Son équation réduite est y = f'(a)(x-a) + f(a). Par exemple, pour f(x)=x² en a=1, f'(1)=2, donc la tangente a pour équation y = 2(x-1)+1 = 2x-1. Cette droite permet d'estimer des valeurs proches de 1, comme 1,01² ≈ 2×1,01 - 1 = 1,02.
🔍 Exemple
Pour f(x)=x², la tangente en 1 est y=2x-1. Ainsi, 1,01² ≈ 2×1,01-1 = 1,02 (valeur exacte 1,0201).
⭐ À retenir
La tangente est la meilleure approximation affine locale : f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h pour h petit.
💡 À retenir : La tangente en a a pour équation y = f'(a)(x-a) + f(a).
🔢
Dérivées usuelles
Fonction dérivée et opérations
La fonction dérivée f' associe à chaque x le nombre dérivé f'(x) quand il existe. On la calcule grâce à des formules. Les dérivées des fonctions usuelles à connaître : (x^n)' = n x^{n-1} pour n entier, (1/x)' = -1/x², (√x)' = 1/(2√x). Pour les opérations : (u+v)' = u'+v', (ku)' = k u', (uv)' = u'v + uv', et (u/v)' = (u'v - uv')/v². Ces règles permettent de dériver toute fonction polynôme ou rationnelle.
Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
💡 À retenir : La fonction dérivée f' donne le nombre dérivé en tout point où f est dérivable.
📊
Sens de variation
Lien entre signe de la dérivée et variations
Le signe de la dérivée f' sur un intervalle indique le sens de variation de f. Si f'(x) > 0 pour tout x d'un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle. Si f'(x) < 0, f est strictement décroissante. Si f'(x) = 0, la tangente est horizontale ; cela peut correspondre à un maximum ou un minimum local. L'étude des variations d'une fonction passe donc par le calcul de sa dérivée, l'étude du signe de f'(x), puis la construction du tableau de variations.
🔍 Exemple
Pour f(x)=x², f'(x)=2x. f'(x) < 0 sur ]-∞;0[ donc f décroît ; f'(x) > 0 sur ]0;+∞[ donc f croît. Minimum en 0.
⭐ À retenir
Un extremum local est atteint lorsque la dérivée s'annule en changeant de signe.
💡 À retenir : f'(x) > 0 ⇔ f croissante ; f'(x) < 0 ⇔ f décroissante.