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La fonction 'inverse' de la dérivéeEn terminale, on connaît bien la dérivation : si F(x) = x², alors F'(x) = 2x. La primitive, c'est l'opération inverse : trouver une fonction F dont la dérivée est f. Ainsi, une primitive de f(x) = 2x est F(x) = x². Mais attention, il en existe une infinité : F(x) = x² + 5, x² - 3, etc., car la dérivée d'une constante est nulle. On dit que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Cette notion est fondamentale pour le calcul intégral.
📢 Rappel
La dérivée de x^n est n x^{n-1} ; la dérivée de e^x est e^x ; la dérivée de \ln x est 1/x.
📖 Définition
Primitive : fonction F telle que F' = f. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
⭐ À retenir
Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F + C, où C est une constante réelle.
💡 À retenir : F est une primitive de f sur un intervalle I si pour tout x ∈ I, F'(x) = f(x).
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Tableau et méthodes de calculPour calculer une primitive, on s'appuie sur la lecture inverse du tableau des dérivées. Par exemple, la dérivée de x^{n+1}/(n+1) est x^n, donc une primitive de x^n est x^{n+1}/(n+1) (pour n ≠ -1). On utilise aussi la linéarité : une primitive de a·f + b·g est a·F + b·G. Ainsi, pour f(x) = 3x² + 2x, une primitive est F(x) = x³ + x². Attention au cas particulier de 1/x dont une primitive est ln|x|.
🔍 Exemple
f(x) = 4x^3 - 2/x + e^x. Une primitive est F(x) = x^4 - 2\ln|x| + e^x.
⭐ À retenir
Primitives usuelles : f(x)=e^x → F(x)=e^x ; f(x)=1/x → F(x)=\ln|x| ; f(x)=\cos x → F(x)=\sin x.
💡 À retenir : Primitive de x^n : F(x) = x^{n+1}/(n+1) + C (n ≠ -1).
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De la primitive à l'aire sous la courbeL'intégrale de f entre a et b est le nombre réel noté ∫_a^b f(x) dx. Il se calcule à l'aide d'une primitive F : ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Ce nombre représente l'aire algébrique du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b. Si f est positive, l'intégrale donne l'aire exacte en unités d'aire. Par exemple, ∫_0^1 x² dx = [x³/3]_0^1 = 1/3.
📖 Définition
L'intégrale définie de f sur [a,b] est la différence des valeurs d'une primitive F aux bornes : F(b)-F(a).
🔍 Exemple
∫_0^2 (3x+1) dx = [ (3/2)x^2 + x ]_0^2 = (6+2) - 0 = 8.
💡 À retenir : ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), où F est une primitive de f.
🧮
Linéarité, Chasles, valeur moyenneL'intégrale est linéaire : ∫(αf+βg) = α∫f + β∫g. La relation de Chasles permet de découper l'intervalle : ∫_a^c f = ∫_a^b f + ∫_b^c f. On définit aussi la valeur moyenne de f sur [a,b] : μ = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx. Ces propriétés simplifient les calculs d'aires et les problèmes concrets comme la vitesse moyenne ou la quantité de matière accumulée.
⭐ À retenir
Linéarité : ∫ (αf + βg) = α∫f + β∫g. Relation de Chasles : ∫_a^c f = ∫_a^b f + ∫_b^c f.
🔍 Exemple
Pour f(x)=x² sur [0,2], la valeur moyenne est (1/2)∫_0^2 x² dx = (1/2)×(8/3) = 4/3.
💡 À retenir : Valeur moyenne : μ = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx.