Primitives et intégrales
Ce que tu dois retenir
F est une primitive de f sur un intervalle I si pour tout x ∈ I, F'(x) = f(x).
Primitive de x^n : F(x) = x^{n+1}/(n+1) + C (n ≠ -1).
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), où F est une primitive de f.
Valeur moyenne : μ = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Quelle est une primitive de f(x) = 3x² ?
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Réponse : C — C. F(x) = x³ + 5
La dérivée de x³ est 3x², donc x³ est une primitive. Ajouter une constante donne aussi une primitive, donc x³+5 convient. 6x est la dérivée, pas la primitive.
2. Si F est une primitive de f sur ℝ, que vaut F'(x) ?
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Réponse : A — A. f(x)
Par définition, une primitive F de f vérifie F'(x) = f(x) pour tout x.
3. ∫_0^1 2x dx est égal à :
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Réponse : B — B. 1
Une primitive de 2x est x². Donc ∫_0^1 2x dx = [x²]_0^1 = 1² - 0² = 1.
4. La valeur moyenne de f(x)=4 sur [1,3] est :
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Réponse : B — B. 4
μ = (1/(3-1)) ∫_1^3 4 dx = (1/2)×[4x]_1^3 = (1/2)×(12-4) = 4. Une fonction constante a sa valeur pour moyenne.
5. Quelle propriété traduit la relation de Chasles ?
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Réponse : B — B. ∫_a^b f + ∫_b^c f = ∫_a^c f
La relation de Chasles permet de découper l'intervalle d'intégration : l'intégrale de a à c est la somme de l'intégrale de a à b et de b à c.
6. Une primitive de f(x) = 1/x sur ]0;+∞[ est :
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Réponse : B — B. F(x) = ln(x)
La dérivée de ln(x) est 1/x, donc ln(x) est une primitive de 1/x sur ]0;+∞[.
7. ∫_0^π sin(x) dx vaut :
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Réponse : D — D. 2
Une primitive de sin(x) est -cos(x). Donc [-cos(x)]_0^π = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) + 1 = 2.
8. Si f est continue et positive sur [a,b], que représente ∫_a^b f(x) dx ?
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Réponse : B — B. L'aire sous la courbe de f entre a et b
Pour une fonction positive, l'intégrale correspond à l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites x=a et x=b.