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Du degré au radianLe cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine du repère. On y définit une nouvelle unité d'angle, le radian, qui correspond à la longueur de l'arc intercepté. Un tour complet mesure 2π radians, soit 360°. Cette unité est indispensable pour étudier les fonctions trigonométriques en analyse. On oriente le cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique ou positif.
📢 Rappel
Degrés : un tour complet = 360°. Conversion : angle en rad = (angle en deg × π) / 180.
📖 Définition
Radian : angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle de rayon 1.
💡 À retenir : π radians = 180°
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Enroulement de la droite réelleEn enroulant la droite des réels autour du cercle trigonométrique, chaque réel x est associé à un point unique M sur le cercle. Le cosinus de x est l'abscisse de M, le sinus de x est son ordonnée. On obtient ainsi les fonctions cos et sin définies sur ℝ, périodiques de période 2π. Le cosinus est pair, le sinus est impair. Pour tout x, cos²(x) + sin²(x) = 1.
⭐ À retenir
cos est paire : cos(-x) = cos(x). sin est impaire : sin(-x) = -sin(x).
🔍 Exemple
Pour x = π/4, cos(π/4) = √2/2 et sin(π/4) = √2/2. On vérifie : (√2/2)² + (√2/2)² = 1.
💡 À retenir : cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x)
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Résoudre cos(x) = a et sin(x) = aPour résoudre cos(x) = a avec a ∈ [-1;1], on cherche un angle α tel que cos(α) = a. Les solutions sont alors x = α + 2kπ ou x = -α + 2kπ, k ∈ ℤ. Pour sin(x) = a, on cherche α tel que sin(α) = a, et les solutions sont x = α + 2kπ ou x = π - α + 2kπ. On utilise le cercle trigonométrique pour visualiser les symétries et ne pas oublier de solutions.
📢 Rappel
Valeurs remarquables : cos(0)=1, cos(π/6)=√3/2, cos(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, cos(π/2)=0.
🔍 Exemple
Résoudre sin(x) = 1/2. α = π/6, donc x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ.
💡 À retenir : cos(x) = cos(α) ⇔ x = α + 2kπ ou x = -α + 2kπ
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Formules d'additionLes formules d'addition permettent de développer cos(a+b) et sin(a+b). Elles sont fondamentales pour la transformation d'expressions trigonométriques. On a cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) et sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). En remplaçant b par -b, on obtient les formules de soustraction. Ces formules servent aussi à démontrer les formules de duplication.
⭐ À retenir
Formules de duplication : cos(2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a
🔍 Exemple
cos(π/3 + π/4) = cos(π/3)cos(π/4) - sin(π/3)sin(π/4) = (1/2)(√2/2) - (√3/2)(√2/2) = (√2 - √6)/4
💡 À retenir : cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b