Racines carrées

La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a. On la note √a. Par exemple, √9 = 3 car 3² = 9. Attention, √a n'existe que si a ≥ 0. La racine carrée de 0 est 0.

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √(a×b) = √a × √b. Pour a ≥ 0 et b > 0, √(a/b) = √a / √b. Ces propriétés permettent de simplifier des expressions. Exemple: √(12) = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3. Attention: il n'y a pas de propriété simple pour √(a+b).

Pour simplifier √n, on décompose n en produit d'un carré parfait et d'un autre facteur. On extrait la racine du carré parfait. Exemple: √72 = √(36×2) = 6√2. On peut aussi réduire des expressions comme 3√8 + 5√2 = 3×2√2 + 5√2 = 6√2 + 5√2 = 11√2.

Pour multiplier deux racines, on utilise √a × √b = √(ab). Exemple: √6 × √3 = √18 = 3√2. Pour résoudre x² = a avec a ≥ 0, les solutions sont x = √a ou x = -√a. Exemple: x² = 25 donne x = 5 ou x = -5. Si a < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.