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Une fonction égale à sa dérivéeLa fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction définie et dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1. On admet son existence. Elle ne s’annule jamais et est strictement positive sur ℝ. On note aussi e = exp(1) ≈ 2,718.
📖 Définition
La fonction exponentielle est la seule fonction f dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0) = 1.
💡 À retenir : exp' = exp et exp(0) = 1
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Propriétés algébriquesPour tous réels a et b, exp(a+b) = exp(a) × exp(b). On en déduit que exp(a-b) = exp(a)/exp(b), exp(-a) = 1/exp(a), et pour tout entier n, exp(n) = e^n. On généralise en notant exp(x) = e^x pour tout réel x. La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
📢 Rappel
e ≈ 2,718 est le nombre d’Euler, base du logarithme népérien.
⭐ À retenir
e^0 = 1, e^1 = e, e^{x+y} = e^x e^y, e^{-x} = 1/e^x
💡 À retenir : exp(a+b) = exp(a) × exp(b)
📊
Étude de la fonctionLa fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ. Sa dérivée est elle-même : (e^x)' = e^x. En +∞, e^x tend vers +∞ ; en -∞, e^x tend vers 0. La courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et passe par les points (0,1) et (1,e).
⭐ À retenir
\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty, \lim_{x\to -\infty} e^x = 0
💡 À retenir : e^x > 0, strictement croissante, dérivée e^x
🧮
Résoudre des équationsGrâce à la stricte croissance de l’exponentielle, e^a = e^b ⇔ a = b. Pour résoudre e^{2x+1} = e^{x-3}, on écrit 2x+1 = x-3, donc x = -4. Pour une inéquation comme e^{3x} > e^{x+2}, on a 3x > x+2, soit x > 1. Si l’équation est e^{2x} = 5, on utilise la fonction ln (logarithme népérien) qui sera vue plus tard, mais on peut déjà encadrer la solution.
🔍 Exemple
e^{2x-1} = e^4 ⇒ 2x-1 = 4 ⇒ x = 2,5
💡 À retenir : e^a = e^b ⇔ a = b