Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction définie et dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1. On admet son existence. Elle ne s’annule jamais et est strictement positive sur ℝ. On note aussi e = exp(1) ≈ 2,718.

Pour tous réels a et b, exp(a+b) = exp(a) × exp(b). On en déduit que exp(a-b) = exp(a)/exp(b), exp(-a) = 1/exp(a), et pour tout entier n, exp(n) = e^n. On généralise en notant exp(x) = e^x pour tout réel x. La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ. Sa dérivée est elle-même : (e^x)' = e^x. En +∞, e^x tend vers +∞ ; en -∞, e^x tend vers 0. La courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et passe par les points (0,1) et (1,e).

Grâce à la stricte croissance de l’exponentielle, e^a = e^b ⇔ a = b. Pour résoudre e^{2x+1} = e^{x-3}, on écrit 2x+1 = x-3, donc x = -4. Pour une inéquation comme e^{3x} > e^{x+2}, on a 3x > x+2, soit x > 1. Si l’équation est e^{2x} = 5, on utilise la fonction ln (logarithme népérien) qui sera vue plus tard, mais on peut déjà encadrer la solution.