🔢
Définition et notationsUne suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, appelés termes. Chaque terme est associé à un indice entier naturel n, qui indique sa position. On note u_n le terme de rang n, et (u_n) la suite complète. Par exemple, la suite des nombres pairs : u_0=0, u_1=2, u_2=4, ... Les suites permettent de modéliser des évolutions : population, intérêts bancaires, etc.
📖 Définition
Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ.
🔍 Exemple
La suite des températures moyennes mensuelles à Paris : u_1=5°C (janvier), u_2=6°C, ...
💡 À retenir : Une suite associe à chaque entier naturel n un nombre réel u_n.
⚙️
Définir une suiteIl existe deux façons principales de définir une suite. La forme explicite : u_n s'exprime directement en fonction de n, comme u_n = 3n - 1. La forme par récurrence : on donne le premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, par exemple u_0 = 2 et u_{n+1} = 0.5 u_n + 3. Ces deux modes sont essentiels pour modéliser des phénomènes discrets.
📢 Rappel
Une fonction f associe à un nombre x une image f(x). Ici, la variable est l'entier n.
⭐ À retenir
Avec la forme explicite, on peut calculer n'importe quel terme directement. Avec la récurrence, il faut calculer tous les termes précédents.
💡 À retenir : Explicite : u_n = f(n) ; Récurrence : u_{n+1} = f(u_n) avec u_0 donné.
📈
Sens de variationUne suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent : u_{n+1} ≥ u_n. Elle est décroissante si u_{n+1} ≤ u_n, et constante si u_{n+1} = u_n. Pour étudier la variation, on calcule la différence u_{n+1} - u_n et on détermine son signe. Si la suite est à termes strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient u_{n+1}/u_n à 1.
📖 Définition
Croissante : u_{n+1} ≥ u_n ; Décroissante : u_{n+1} ≤ u_n ; Constante : u_{n+1} = u_n.
⭐ À retenir
Toujours étudier le signe de u_{n+1} - u_n, ou si termes >0, comparer u_{n+1}/u_n à 1.
💡 À retenir : Le signe de u_{n+1} - u_n donne le sens de variation.
📊
Représentation et applicationsOn représente une suite dans un repère en plaçant les points de coordonnées (n ; u_n). Cela forme un nuage de points, pas une courbe continue. Cette représentation aide à visualiser l'évolution et le sens de variation. Par exemple, un capital placé à intérêts simples donne une suite arithmétique, dont les points sont alignés. Les suites sont utilisées en économie, biologie, informatique.
🔍 Exemple
Capital initial 1000€, intérêts simples 5% par an : u_n = 1000 + 50n. Points alignés sur une droite.
💡 À retenir : Une suite se représente par un nuage de points (n, u_n).