Suites numériques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, appelés termes. Chaque terme est associé à un indice entier naturel n, qui indique sa position. On note u_n le terme de rang n, et (u_n) la suite complète. Par exemple, la suite des nombres pairs : u_0=0, u_1=2, u_2=4, ... Les suites permettent de modéliser des évolutions : population, intérêts bancaires, etc.

Il existe deux façons principales de définir une suite. La forme explicite : u_n s'exprime directement en fonction de n, comme u_n = 3n - 1. La forme par récurrence : on donne le premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, par exemple u_0 = 2 et u_{n+1} = 0.5 u_n + 3. Ces deux modes sont essentiels pour modéliser des phénomènes discrets.

Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent : u_{n+1} ≥ u_n. Elle est décroissante si u_{n+1} ≤ u_n, et constante si u_{n+1} = u_n. Pour étudier la variation, on calcule la différence u_{n+1} - u_n et on détermine son signe. Si la suite est à termes strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient u_{n+1}/u_n à 1.

On représente une suite dans un repère en plaçant les points de coordonnées (n ; u_n). Cela forme un nuage de points, pas une courbe continue. Cette représentation aide à visualiser l'évolution et le sens de variation. Par exemple, un capital placé à intérêts simples donne une suite arithmétique, dont les points sont alignés. Les suites sont utilisées en économie, biologie, informatique.