Calcul littéral : identités remarquables et factorisation

L'identité remarquable (a+b)² se développe en a² + 2ab + b². Imagine un carré de côté (x+3) : son aire est (x+3)², que l'on peut découper en un carré de côté x, deux rectangles de dimensions x et 3, et un petit carré de côté 3. On obtient x² + 6x + 9. Le terme 2ab, ici 6x, est souvent oublié, alors qu'il est essentiel.

Deux autres identités sont à connaître : (a-b)² = a² - 2ab + b² et (a+b)(a-b) = a² - b². Pour (2x-3)², on obtient 4x² - 12x + 9. Pour (x+4)(x-4), on obtient x² - 16. Attention au signe dans le carré d'une différence : le double produit est négatif. La troisième identité ne contient pas de terme en ab.

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On cherche d'abord un facteur commun : ka + kb = k(a+b). Par exemple, 3x² + 6x = 3x(x+2). Parfois, le facteur commun est une expression entre parenthèses : (x+1)(2x+3) + (x+1)(x-5) = (x+1)[(2x+3)+(x-5)] = (x+1)(3x-2).

On peut aussi factoriser en utilisant les identités remarquables à l'envers. Pour a² - b², on obtient (a-b)(a+b). Exemple : 9x² - 25 = (3x)² - 5² = (3x-5)(3x+5). Pour un carré parfait comme x² + 10x + 25, on reconnaît (x+5)². Vérifie toujours que l'expression correspond exactement à une identité avant de factoriser.