Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : le succès (probabilité p) ou l'échec (probabilité 1-p). Lorsqu'on répète n fois cette épreuve de manière identique et indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli. La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus à l'issue de ces n répétitions. On la note B(n, p). Par exemple, lancer 10 fois une pièce équilibrée et compter le nombre de Pile est une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,5.

Si X suit une loi binomiale B(n, p), alors pour tout entier k compris entre 0 et n, la probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par une formule combinatoire. On utilise le coefficient binomial (k parmi n), noté C(n,k) ou binom{n}{k}, qui compte le nombre de chemins réalisant k succès. Chaque chemin a une probabilité p^k (1-p)^{n-k}. La loi binomiale est ainsi parfaitement définie par ses deux paramètres n et p.

Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(n, p), l'espérance mathématique est E(X) = n × p. Elle représente le nombre moyen de succès attendus. La variance est V(X) = n × p × (1-p) et mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X) = √(n p (1-p)). Ces formules permettent de décrire rapidement la distribution sans calculer toutes les probabilités.

La calculatrice permet d'obtenir directement P(X=k), P(X≤k) ou P(X≥k) avec les fonctions dédiées (binompdf, binomcdf). Pour résoudre un problème concret, on identifie d'abord l'épreuve de Bernoulli, on vérifie l'indépendance des répétitions, puis on détermine n et p. On peut alors calculer des probabilités, l'espérance ou déterminer un seuil critique. Par exemple, un QCM de 20 questions avec 4 choix par question : la note en répondant au hasard suit B(20, 0,25).