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Épreuve et schémaUne épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : le succès (probabilité p) ou l'échec (probabilité 1-p). Lorsqu'on répète n fois cette épreuve de manière identique et indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli. La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus à l'issue de ces n répétitions. On la note B(n, p). Par exemple, lancer 10 fois une pièce équilibrée et compter le nombre de Pile est une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,5.
📖 Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1-p).
🔍 Exemple
Lancer un dé et regarder si on obtient 6 (succès, p=1/6) ou non (échec) est une épreuve de Bernoulli.
💡 À retenir : Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
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Probabilité d'un nombre de succèsSi X suit une loi binomiale B(n, p), alors pour tout entier k compris entre 0 et n, la probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par une formule combinatoire. On utilise le coefficient binomial (k parmi n), noté C(n,k) ou binom{n}{k}, qui compte le nombre de chemins réalisant k succès. Chaque chemin a une probabilité p^k (1-p)^{n-k}. La loi binomiale est ainsi parfaitement définie par ses deux paramètres n et p.
⭐ À retenir
Le coefficient binomial binom{n}{k} se lit « k parmi n » et se calcule avec la calculatrice ou par la formule n!/(k!(n-k)!).
💡 À retenir : P(X=k) = (n k) × p^k × (1-p)^{n-k}
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Indicateurs de tendance centrale et de dispersionPour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(n, p), l'espérance mathématique est E(X) = n × p. Elle représente le nombre moyen de succès attendus. La variance est V(X) = n × p × (1-p) et mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X) = √(n p (1-p)). Ces formules permettent de décrire rapidement la distribution sans calculer toutes les probabilités.
📢 Rappel
L'espérance d'une variable aléatoire est la moyenne pondérée de ses valeurs possibles par leurs probabilités.
💡 À retenir : E(X) = n p, V(X) = n p (1-p), σ(X) = √(n p (1-p))
🧮
Mise en pratiqueLa calculatrice permet d'obtenir directement P(X=k), P(X≤k) ou P(X≥k) avec les fonctions dédiées (binompdf, binomcdf). Pour résoudre un problème concret, on identifie d'abord l'épreuve de Bernoulli, on vérifie l'indépendance des répétitions, puis on détermine n et p. On peut alors calculer des probabilités, l'espérance ou déterminer un seuil critique. Par exemple, un QCM de 20 questions avec 4 choix par question : la note en répondant au hasard suit B(20, 0,25).
🔍 Exemple
Avec n=20 et p=0,25, l'espérance est 5 : en moyenne, on obtient 5 bonnes réponses en répondant au hasard.
💡 À retenir : Toujours vérifier les conditions d'application : épreuves identiques et indépendantes, deux issues.