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Loi binomiale

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — De Bernoulli à la répétition d'épreuves

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Chapitre 2 — La formule de la loi binomiale

P(X=k) = (n k) × p^k × (1-p)^{n-k}

Chapitre 3 — Espérance, variance et écart-type

E(X) = n p, V(X) = n p (1-p), σ(X) = √(n p (1-p))

Chapitre 4 — Utiliser la calculatrice et résoudre des problèmes

Toujours vérifier les conditions d'application : épreuves identiques et indépendantes, deux issues.

Teste-toi

1. Quelle condition est nécessaire pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale ?

AA. Les épreuves sont dépendantes et ont plus de deux issues.
BB. Les épreuves sont identiques et indépendantes, avec deux issues.
CC. Les épreuves sont identiques mais avec trois issues possibles.
DD. Les épreuves sont indépendantes mais le paramètre p change à chaque fois.
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Réponse : B — B. Les épreuves sont identiques et indépendantes, avec deux issues.

Une loi binomiale modélise la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques (même probabilité de succès p) et indépendantes.

2. On lance 8 fois une pièce équilibrée. X compte le nombre de Pile. Quels sont les paramètres de la loi binomiale suivie par X ?

AA. n=8, p=0,8
BB. n=8, p=0,5
CC. n=0,5, p=8
DD. n=4, p=0,5
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Réponse : B — B. n=8, p=0,5

Il y a 8 répétitions indépendantes, la probabilité de succès (Pile) est 0,5, donc X suit B(8 ; 0,5).

3. Si X suit B(10 ; 0,3), que vaut P(X=3) ?

AA. 0,3^3 × 0,7^7
BB. 10 × 0,3^3 × 0,7^7
CC. 120 × 0,3^3 × 0,7^7
DD. 120 × 0,3^7 × 0,7^3
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Réponse : C — C. 120 × 0,3^3 × 0,7^7

P(X=3) = binom{10}{3} × 0,3^3 × 0,7^7. binom{10}{3} = 120.

4. Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(20 ; 0,4) ?

AA. 4
BB. 8
CC. 12
DD. 20
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Réponse : B — B. 8

E(X) = n × p = 20 × 0,4 = 8.

5. La variance d'une loi binomiale B(n, p) est :

AA. n p
BB. n p (1-p)
CC. √(n p)
DD. p (1-p) / n
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Réponse : B — B. n p (1-p)

V(X) = n p (1-p). L'écart-type est la racine carrée de cette expression.

6. Dans un schéma de Bernoulli, que représente le coefficient binomial binom{n}{k} ?

AA. La probabilité d'un chemin particulier.
BB. Le nombre de chemins menant à k succès.
CC. La probabilité d'obtenir k succès.
DD. Le nombre total d'épreuves.
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Réponse : B — B. Le nombre de chemins menant à k succès.

binom{n}{k} compte le nombre de façons d'obtenir exactement k succès parmi n épreuves.

7. On répète 6 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p=0,2. La probabilité d'obtenir au moins un succès est :

AA. 1 - 0,2^6
BB. 1 - 0,8^6
CC. 0,8^6
DD. 6 × 0,2 × 0,8^5
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Réponse : B — B. 1 - 0,8^6

Au moins un succès est l'événement contraire de zéro succès. P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0,8^6.

8. Si X suit B(100 ; 0,5), quel intervalle de fluctuation à 95% utilise-t-on souvent en Terminale ?

AA. [p - 1/√n ; p + 1/√n]
BB. [p - 1,96√(p(1-p)/n) ; p + 1,96√(p(1-p)/n)]
CC. [0 ; 1]
DD. [np - √(np(1-p)) ; np + √(np(1-p))]
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Réponse : A — A. [p - 1/√n ; p + 1/√n]

En Terminale, pour n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est [p - 1/√n ; p + 1/√n].

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