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Loi binomiale

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : De Bernoulli à la répétition d'épreuves

    Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

  2. Chapitre 2 : La formule de la loi binomiale

    P(X=k) = (n k) × p^k × (1-p)^{n-k}

  3. Chapitre 3 : Espérance, variance et écart-type

    E(X) = n p, V(X) = n p (1-p), σ(X) = √(n p (1-p))

  4. Chapitre 4 : Utiliser la calculatrice et résoudre des problèmes

    Toujours vérifier les conditions d'application : épreuves identiques et indépendantes, deux issues.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Quelle condition est nécessaire pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale ?

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    Réponse : Les épreuves sont identiques et indépendantes, avec deux issues.

    Une loi binomiale modélise la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques (même probabilité de succès p) et indépendantes.

  2. 2.On lance 8 fois une pièce équilibrée. X compte le nombre de Pile. Quels sont les paramètres de la loi binomiale suivie par X ?

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    Réponse : n=8, p=0,5

    Il y a 8 répétitions indépendantes, la probabilité de succès (Pile) est 0,5, donc X suit B(8 ; 0,5).

  3. 3.Si X suit B(10 ; 0,3), que vaut P(X=3) ?

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    Réponse : 120 × 0,3^3 × 0,7^7

    P(X=3) = binom{10}{3} × 0,3^3 × 0,7^7. binom{10}{3} = 120.

  4. 4.Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(20 ; 0,4) ?

    1. A.20
    2. B.8
    3. C.4
    4. D.12
    Voir la réponse

    Réponse B : 8

    E(X) = n × p = 20 × 0,4 = 8.

  5. 5.La variance d'une loi binomiale B(n, p) est :

    1. A.n p (1-p)
    2. B.√(n p)
    3. C.n p
    4. D.p (1-p) / n
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    Réponse A : n p (1-p)

    V(X) = n p (1-p). L'écart-type est la racine carrée de cette expression.

  6. 6.Dans un schéma de Bernoulli, que représente le coefficient binomial binom{n}{k} ?

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    Réponse : Le nombre de chemins menant à k succès.

    binom{n}{k} compte le nombre de façons d'obtenir exactement k succès parmi n épreuves.

  7. 7.On répète 6 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p=0,2. La probabilité d'obtenir au moins un succès est :

    1. A.1 - 0,8^6
    2. B.0,8^6
    3. C.1 - 0,2^6
    4. D.6 × 0,2 × 0,8^5
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    Réponse A : 1 - 0,8^6

    Au moins un succès est l'événement contraire de zéro succès. P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0,8^6.

  8. 8.Si X suit B(100 ; 0,5), quel intervalle de fluctuation à 95% utilise-t-on souvent en Terminale ?

    Voir la réponse

    Réponse : [p - 1/√n ; p + 1/√n]

    En Terminale, pour n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est [p - 1/√n ; p + 1/√n].