Nombres complexes : formes et équations

Un nombre complexe s’écrit sous la forme algébrique z = a + ib, où a et b sont des réels et i est le nombre imaginaire tel que i² = –1. a est la partie réelle Re(z) et b la partie imaginaire Im(z). Le conjugué de z est z̅ = a – ib. Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.

Dans le plan complexe, le point M d’affixe z = a + ib a pour coordonnées (a, b). Le module |z| = √(a² + b²) est la distance OM. Un argument θ est une mesure de l’angle (u, OM) modulo 2π. On a alors a = |z| cos θ et b = |z| sin θ. Le conjugué z̅ correspond au symétrique de M par rapport à l’axe réel.

La forme trigonométrique s’écrit z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z|. La formule d’Euler donne la forme exponentielle : z = r e^{iθ}. Ces formes simplifient les produits, quotients et puissances : |z₁z₂| = |z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) mod 2π. La formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).

Dans ℂ, toute équation du second degré az² + bz + c = 0 (a, b, c réels, a ≠ 0) admet toujours deux solutions, éventuellement confondues. Si Δ < 0, les solutions sont conjuguées : z = (–b ± i√|Δ|) / (2a). On peut aussi résoudre des équations avec des complexes non réels en utilisant la forme algébrique ou exponentielle. Le théorème fondamental de l’algèbre garantit qu’un polynôme de degré n admet exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité).