Mathématiques · term

Nombres complexes : formes et équations

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu’est-ce qu’un nombre complexe ?

Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme a + ib avec a, b réels.

Chapitre 2 — Module et argument

Le module |z| est un réel positif ou nul, et arg(z) est défini à 2π près.

Chapitre 3 — Formes pratiques pour les calculs

La forme exponentielle transforme les produits en sommes d’arguments.

Chapitre 4 — Équations dans ℂ

Dans ℂ, tout trinôme du second degré a deux racines, réelles ou complexes conjuguées.

Teste-toi

1. Quelle est la valeur de i² ?

AA. 1
BB. –1
CC. i
DD. –i
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Réponse : B — B. –1

Par définition, i est le nombre imaginaire tel que i² = –1.

2. Si z = 3 – 4i, quel est son conjugué ?

AA. –3 + 4i
BB. 3 + 4i
CC. –3 – 4i
DD. 3 – 4i
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Réponse : B — B. 3 + 4i

Le conjugué de a + ib est a – ib, donc z̅ = 3 + 4i.

3. Quel est le module de z = 1 + i ?

AA. 1
BB. √2
CC. 2
DD. 0
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Réponse : B — B. √2

|z| = √(1² + 1²) = √2.

4. La forme exponentielle de z = –1 est :

AA. e^{i0}
BB. e^{iπ}
CC. e^{iπ/2}
DD. e^{i3π/2}
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Réponse : B — B. e^{iπ}

–1 = cos π + i sin π = e^{iπ}.

5. Si z₁ = 2e^{iπ/3} et z₂ = 3e^{iπ/6}, alors arg(z₁z₂) = ?

AA. π/6
BB. π/3
CC. π/2
DD. π
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Réponse : C — C. π/2

arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) = π/3 + π/6 = π/2.

6. Quelle est la partie imaginaire de z = 4 – 5i ?

AA. 4
BB. –5
CC. 5
DD. –5i
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Réponse : B — B. –5

Im(z) est le coefficient de i, soit –5 (sans le i).

7. L’équation z² + 1 = 0 admet dans ℂ :

AA. aucune solution
BB. une solution réelle
CC. deux solutions réelles
DD. deux solutions complexes conjuguées
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Réponse : D — D. deux solutions complexes conjuguées

z² = –1 donne z = i ou z = –i, deux complexes conjugués.

8. Si z = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)), alors z⁴ = ?

AA. 16
BB. –16
CC. 16i
DD. –16i
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Réponse : B — B. –16

z = 2e^{iπ/4}, donc z⁴ = 2⁴ e^{iπ} = 16(–1) = –16.

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