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Nombres complexes : formes et équations

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Qu’est-ce qu’un nombre complexe ?

    Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme a + ib avec a, b réels.

  2. Chapitre 2 : Module et argument

    Le module |z| est un réel positif ou nul, et arg(z) est défini à 2π près.

  3. Chapitre 3 : Formes pratiques pour les calculs

    La forme exponentielle transforme les produits en sommes d’arguments.

  4. Chapitre 4 : Équations dans ℂ

    Dans ℂ, tout trinôme du second degré a deux racines, réelles ou complexes conjuguées.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Quelle est la valeur de i² ?

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    Réponse : –1

    Par définition, i est le nombre imaginaire tel que i² = –1.

  2. 2.Si z = 3 – 4i, quel est son conjugué ?

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    Réponse : 3 + 4i

    Le conjugué de a + ib est a – ib, donc z̅ = 3 + 4i.

  3. 3.Quel est le module de z = 1 + i ?

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    Réponse : √2

    |z| = √(1² + 1²) = √2.

  4. 4.La forme exponentielle de z = –1 est :

    1. A.e^{iπ}
    2. B.e^{i3π/2}
    3. C.e^{i0}
    4. D.e^{iπ/2}
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    Réponse A : e^{iπ}

    –1 = cos π + i sin π = e^{iπ}.

  5. 5.Si z₁ = 2e^{iπ/3} et z₂ = 3e^{iπ/6}, alors arg(z₁z₂) = ?

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    Réponse : π/2

    arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) = π/3 + π/6 = π/2.

  6. 6.Quelle est la partie imaginaire de z = 4 – 5i ?

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    Réponse : –5

    Im(z) est le coefficient de i, soit –5 (sans le i).

  7. 7.L’équation z² + 1 = 0 admet dans ℂ :

    1. A.deux solutions complexes conjuguées
    2. B.une solution réelle
    3. C.aucune solution
    4. D.deux solutions réelles
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    Réponse A : deux solutions complexes conjuguées

    z² = –1 donne z = i ou z = –i, deux complexes conjugués.

  8. 8.Si z = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)), alors z⁴ = ?

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    Réponse : –16

    z = 2e^{iπ/4}, donc z⁴ = 2⁴ e^{iπ} = 16(–1) = –16.