Probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, comme lancer un dé ou tirer une carte. L'ensemble de tous les résultats possibles s'appelle l'univers, souvent noté Ω. Un événement est un sous-ensemble de l'univers, c'est-à-dire un ensemble d'issues. Par exemple, pour un lancer de dé à 6 faces, Ω = {1,2,3,4,5,6} et l'événement « obtenir un nombre pair » est A = {2,4,6}. La probabilité d'un événement mesure sa chance de se réaliser, c'est un nombre compris entre 0 (impossible) et 1 (certain).

Lorsque toutes les issues d'une expérience ont la même chance de se produire, on parle de situation d'équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est le quotient du nombre d'issues favorables à A par le nombre total d'issues. On peut aussi utiliser la notation avec le cardinal : P(A) = card(A) / card(Ω). La somme des probabilités de toutes les issues élémentaires est toujours égale à 1. Par exemple, pour un dé équilibré, chaque face a une probabilité de 1/6.

L'intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, est l'événement « A et B se réalisent simultanément ». L'union, notée A ∪ B, est l'événement « A ou B se réalise (au moins l'un des deux) ». Pour calculer P(A ∪ B), on utilise la formule fondamentale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Cette soustraction évite de compter deux fois les issues communes. Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

L'événement contraire de A, noté Ā, est l'ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A. Il se réalise quand A ne se réalise pas. La somme des probabilités de A et de Ā vaut 1, car leur union est l'univers entier et ils sont incompatibles. On a donc la relation très utile : P(Ā) = 1 - P(A). Cette formule permet de calculer facilement une probabilité quand il est plus simple de passer par l'événement contraire. Par exemple, la probabilité de ne pas obtenir 6 avec un dé est 1 - 1/6 = 5/6.