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Expérience aléatoire et universUne expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, comme lancer un dé ou tirer une carte. L'ensemble de tous les résultats possibles s'appelle l'univers, souvent noté Ω. Un événement est un sous-ensemble de l'univers, c'est-à-dire un ensemble d'issues. Par exemple, pour un lancer de dé à 6 faces, Ω = {1,2,3,4,5,6} et l'événement « obtenir un nombre pair » est A = {2,4,6}. La probabilité d'un événement mesure sa chance de se réaliser, c'est un nombre compris entre 0 (impossible) et 1 (certain).
📖 Définition
Expérience aléatoire : expérience dont on connaît tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
📖 Définition
Univers Ω : ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
🔍 Exemple
Lancer un dé à 6 faces : Ω = {1,2,3,4,5,6}. L'événement « obtenir un nombre pair » est A = {2,4,6}.
💡 À retenir : Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui quantifie la chance qu'un événement se produise.
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Calculer une probabilitéLorsque toutes les issues d'une expérience ont la même chance de se produire, on parle de situation d'équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est le quotient du nombre d'issues favorables à A par le nombre total d'issues. On peut aussi utiliser la notation avec le cardinal : P(A) = card(A) / card(Ω). La somme des probabilités de toutes les issues élémentaires est toujours égale à 1. Par exemple, pour un dé équilibré, chaque face a une probabilité de 1/6.
⭐ À retenir
En équiprobabilité, P(A) = (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues).
🔍 Exemple
Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer un roi est 4/32 = 1/8.
💡 À retenir : En situation d'équiprobabilité, P(A) = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues.
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Union et intersectionL'intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, est l'événement « A et B se réalisent simultanément ». L'union, notée A ∪ B, est l'événement « A ou B se réalise (au moins l'un des deux) ». Pour calculer P(A ∪ B), on utilise la formule fondamentale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Cette soustraction évite de compter deux fois les issues communes. Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
📖 Définition
A ∩ B : événement « A et B ». A ∪ B : événement « A ou B ».
⭐ À retenir
Si A et B sont incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
💡 À retenir : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) pour ne pas compter deux fois l'intersection.
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Événement contraireL'événement contraire de A, noté Ā, est l'ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A. Il se réalise quand A ne se réalise pas. La somme des probabilités de A et de Ā vaut 1, car leur union est l'univers entier et ils sont incompatibles. On a donc la relation très utile : P(Ā) = 1 - P(A). Cette formule permet de calculer facilement une probabilité quand il est plus simple de passer par l'événement contraire. Par exemple, la probabilité de ne pas obtenir 6 avec un dé est 1 - 1/6 = 5/6.
⭐ À retenir
P(Ā) = 1 - P(A).
🔍 Exemple
Avec un dé, probabilité de ne pas faire 6 : 1 - 1/6 = 5/6.
💡 À retenir : P(Ā) = 1 - P(A) : toujours vrai, très pratique pour les calculs.