Une fonction est un procédé qui, à un nombre x d'un ensemble de départ, associe un unique nombre y. On note f(x) = y. x est la variable, y est l'image de x par f. L'ensemble des valeurs possibles de x est le domaine de définition. Par exemple, la fonction f(x) = 2x + 1 associe à chaque nombre son double augmenté de 1. Si x = 3, alors f(3) = 2×3 + 1 = 7. On dit que 7 est l'image de 3, et que 3 est un antécédent de 7.
📖 Définition
Une fonction f associe à chaque valeur x d'un ensemble D un unique réel y, noté f(x). D est le domaine de définition.
💡 À retenir :
Complète la phrase
Soit f(x) = 3x - 5. L'image de 2 par f est f(2) =
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Courbe représentative
Lire une fonction sur un graphique
La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x, f(x)). Pour lire l'image d'un nombre a, on repère a sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées. Pour trouver les antécédents d'un nombre b, on fait le chemin inverse : on repère b sur l'axe des ordonnées, on trace une droite horizontale, et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
📢 Rappel
L'axe horizontal est celui des abscisses (x), l'axe vertical celui des ordonnées (y). Chaque point de la courbe a pour coordonnées (x, f(x)).
💡 À retenir :
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Croissance et décroissance
Variations d'une fonction
Une fonction est croissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente aussi. Elle est décroissante si f(x) diminue quand x augmente. Elle est constante si f(x) ne change pas. On étudie les variations sur des intervalles du domaine. Par exemple, f(x) = x² est décroissante sur ]-∞; 0] (car quand x augmente, x² diminue) et croissante sur [0; +∞[ (car quand x augmente, x² augmente).
⭐ À retenir
Pour a < b : si f(a) < f(b), f est croissante ; si f(a) > f(b), f est décroissante ; si f(a) = f(b), f est constante.
💡 À retenir :
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Tableau de variations
Résumer les variations
Le tableau de variations résume le comportement d'une fonction sur son domaine. On y indique les intervalles où f est croissante (flèche vers le haut), décroissante (flèche vers le bas) ou constante (flèche horizontale). On note aussi les valeurs de f(x) aux bornes et les extremums. Un maximum est la plus grande valeur atteinte par f sur un intervalle ; un minimum est la plus petite. Par exemple, f(x)=x² a un minimum 0 atteint en x=0.
🔍 Exemple
Pour f(x)=x² sur [-2;2], le tableau montre une décroissance de 4 à 0 sur [-2;0] puis une croissance de 0 à 4 sur [0;2]. Le minimum est 0 en x=0.