Probabilités et lois de distribution usuelles

Une probabilité quantifie la chance qu’un événement se réalise. Elle est toujours comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain). L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers, souvent noté Ω. La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le composent. Pour tout événement A, P(Ā) = 1 – P(A).

La probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé. Elle se calcule par P(A|B) = P(A∩B) / P(B) si P(B) > 0. Deux événements sont indépendants si P(A∩B) = P(A)×P(B). Le théorème de Bayes permet d’inverser un conditionnement : P(A|B) = [P(B|A)×P(A)] / P(B). Il est très utilisé en médecine pour interpréter les résultats de tests diagnostiques.

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans n épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p. Sa formule est P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k). La loi de Poisson modélise le nombre d’événements rares survenant dans un intervalle de temps ou d’espace, avec un paramètre λ égal au nombre moyen d’événements. Sa formule est P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k!. Ces deux lois sont discrètes et très utilisées en épidémiologie.

La loi normale, ou loi de Gauss, est une distribution continue définie par sa moyenne μ et son écart-type σ. Sa courbe en cloche est symétrique autour de μ. Environ 68 % des valeurs sont dans [μ-σ, μ+σ], 95 % dans [μ-2σ, μ+2σ] et 99,7 % dans [μ-3σ, μ+3σ]. La loi normale centrée réduite Z = (X-μ)/σ suit une N(0,1) et permet d’utiliser des tables standardisées. Le théorème central limite justifie son omniprésence : une somme de nombreuses variables indépendantes tend vers une loi normale.