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Les basesUne matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels organisé en lignes et en colonnes. On note sa dimension m×n, où m est le nombre de lignes et n le nombre de colonnes. Chaque nombre est un coefficient noté a_ij, situé à la ligne i et à la colonne j. Par exemple, les notes de trois élèves dans deux matières forment une matrice 3×2. Cette représentation permet de stocker et manipuler des données de façon structurée.
📖 Définition
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels, noté entre parenthèses.
🔍 Exemple
Les notes de trois élèves dans deux matières forment une matrice 3×2.
📢 Rappel
Un vecteur colonne est une matrice à une seule colonne.
💡 À retenir : Une matrice m×n possède m lignes et n colonnes.
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OpérationsOn additionne deux matrices de mêmes dimensions en additionnant les coefficients de même position. La multiplication par un réel k consiste à multiplier chaque coefficient par k. Le produit A×B n'est possible que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le coefficient c_ij du produit est la somme des produits des coefficients de la ligne i de A par ceux de la colonne j de B. Attention, le produit matriciel n'est en général pas commutatif : AB peut être différent de BA, voire ne pas exister.
⭐ À retenir
Le produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B.
🔍 Exemple
Si A est 2×3 et B est 3×2, alors AB est 2×2.
💡 À retenir : Le produit matriciel n'est pas commutatif en général.
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InversionUne matrice carrée possède autant de lignes que de colonnes. La matrice identité I_n a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs ; elle est l'élément neutre du produit matriciel. Une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I_n ; on note B = A^{-1}. Pour une matrice 2×2, l'inverse existe si le déterminant ad-bc est non nul. L'inverse permet de résoudre des systèmes linéaires : si AX = B, alors X = A^{-1}B.
📖 Définition
La matrice identité I_n a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
⭐ À retenir
Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
💡 À retenir : L'inverse d'une matrice permet de résoudre des systèmes linéaires.
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ApplicationsLes matrices modélisent de nombreuses situations réelles : transformations géométriques comme les rotations ou les symétries, chaînes de Markov pour prévoir l'évolution de systèmes, réseaux et graphes. Une matrice de transition décrit les probabilités de passer d'un état à un autre ; la somme de chaque colonne vaut 1. Les puissances de cette matrice donnent les probabilités de transition en plusieurs étapes. En géométrie, une rotation de centre O et d'angle θ est représentée par une matrice 2×2 bien précise.
🔍 Exemple
Une rotation de centre O et d'angle θ est représentée par la matrice [[cos θ, -sin θ],[sin θ, cos θ]].
⭐ À retenir
Les puissances d'une matrice de transition donnent les probabilités de transition en plusieurs étapes.
💡 À retenir : Les matrices modélisent des évolutions et des transformations.