Mathématiques · term

Calcul matriciel et applications

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice m×n possède m lignes et n colonnes.

Chapitre 2 — Addition, multiplication par un réel et produit matriciel

Le produit matriciel n'est pas commutatif en général.

Chapitre 3 — Matrices carrées et inverse

L'inverse d'une matrice permet de résoudre des systèmes linéaires.

Chapitre 4 — Applications concrètes des matrices

Les matrices modélisent des évolutions et des transformations.

Teste-toi

1. Quelle est la dimension d'une matrice possédant 2 lignes et 3 colonnes ?

A2×3
B3×2
C6×1
D1×6
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Réponse : A — 2×3

On note toujours le nombre de lignes puis le nombre de colonnes.

2. À quelle condition peut-on additionner deux matrices A et B ?

AElles ont les mêmes dimensions
BElles sont carrées
CElles ont le même déterminant
DLe nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B
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Réponse : A — Elles ont les mêmes dimensions

L'addition se fait coefficient par coefficient, donc les dimensions doivent coïncider.

3. Si A est de dimension 2×3 et B de dimension 3×4, quelle est la dimension du produit AB ?

A2×4
B3×3
C2×3
D4×2
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Réponse : A — 2×4

Le produit a le nombre de lignes de A et le nombre de colonnes de B.

4. Soit A = [[1,2],[0,1]] et B = [[1,0],[3,1]]. Que vaut le coefficient c_12 de AB ?

A2
B3
C5
D1
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Réponse : A — 2

c_12 = 1×0 + 2×1 = 2.

5. Quelle est l'inverse de la matrice A = [[2,0],[0,4]] ?

A[[1/2,0],[0,1/4]]
B[[2,0],[0,4]]
C[[-2,0],[0,-4]]
D[[1/4,0],[0,1/2]]
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Réponse : A — [[1/2,0],[0,1/4]]

Pour une matrice diagonale, on inverse chaque coefficient diagonal.

6. Pour résoudre le système AX = B avec A inversible, on utilise :

AX = A^{-1}B
BX = BA^{-1}
CX = AB
DX = B/A
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Réponse : A — X = A^{-1}B

En multipliant à gauche par A^{-1}, on obtient X = A^{-1}B.

7. Dans une matrice de transition d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients de chaque colonne vaut :

A1
B0
C-1
DCela dépend de la matrice
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Réponse : A — 1

Chaque colonne représente une distribution de probabilité, donc la somme vaut 1.

8. Quelle transformation géométrique est représentée par la matrice [[0,-1],[1,0]] ?

ARotation de 90°
BSymétrie axiale
CHomothétie
DTranslation
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Réponse : A — Rotation de 90°

Cette matrice correspond à une rotation d'angle π/2 dans le sens direct.

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