Dénombrement : permutations, combinaisons

Imaginez composer un menu : 3 entrées, 4 plats, 2 desserts. Pour chaque entrée, il y a 4 plats possibles, puis 2 desserts. Le nombre total de menus est 3 × 4 × 2 = 24. C'est le principe multiplicatif : si une situation se décompose en étapes successives indépendantes, le nombre total d'issues est le produit des nombres de possibilités à chaque étape. On introduit alors la factorielle d'un entier n, notée n!, qui est le produit de tous les entiers de 1 à n. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. La factorielle compte le nombre de façons d'ordonner n objets distincts.

Une permutation est un arrangement ordonné de tous les éléments d'un ensemble. Par exemple, les anagrammes du mot 'MATH' (4 lettres distinctes) sont les permutations de 4 éléments. Le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments distincts est n!. Ainsi, pour 4 lettres, on a 4! = 24 anagrammes. Si certains éléments sont identiques, on parle de permutations avec répétitions, mais le programme de terminale se concentre sur les permutations d'éléments distincts. Cette notion est fondamentale pour dénombrer les classements, les files d'attente ou les ordres de passage.

Une combinaison est un choix de k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Par exemple, choisir 2 délégués parmi 5 élèves. Le nombre de combinaisons se note \binom{n}{k} (ou C_n^k) et se lit 'k parmi n'. La formule est \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. Ainsi, pour 2 délégués parmi 5, \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10. On utilise les combinaisons pour les tirages simultanés, les sous-ensembles, ou les jeux de hasard comme le loto.

Les coefficients binomiaux possèdent deux propriétés essentielles. La symétrie : \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. Par exemple, choisir 2 délégués parmi 5 revient à en exclure 3, donc \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = 10. La relation de Pascal : \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}, qui permet de construire le triangle de Pascal. Ces outils servent à modéliser des situations concrètes : tirages au sort, jeux de cartes, constitution de groupes. On peut aussi démontrer la formule du binôme de Newton : (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k.