Dénombrement : permutations, combinaisons
Ce que tu dois retenir
n! = n × (n−1) × … × 1, avec 0! = 1 par convention.
Le nombre de permutations de n éléments distincts est n!.
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} avec 0 ≤ k ≤ n.
Symétrie : \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. Triangle de Pascal : chaque terme est la somme des deux au-dessus.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Combien de menus différents peut-on composer avec 2 entrées, 3 plats et 2 desserts ?
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Réponse : B — 12
Principe multiplicatif : 2 × 3 × 2 = 12 menus possibles.
2. Que vaut 6! ?
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Réponse : B — 720
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
3. Le nombre de façons de classer 5 coureurs à l'arrivée est :
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Réponse : C — 120
C'est le nombre de permutations de 5 éléments : 5! = 120.
4. \binom{7}{2} est égal à :
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Réponse : B — 21
\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7×6}{2} = 21.
5. Dans une main de 5 cartes tirées d'un jeu de 32, l'ordre ne compte pas. On utilise :
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Réponse : B — des combinaisons
L'ordre ne compte pas, donc on utilise des combinaisons : \binom{32}{5}.
6. \binom{10}{8} est égal à :
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Réponse : A — \binom{10}{2}
Par symétrie, \binom{10}{8} = \binom{10}{2}.
7. Dans le triangle de Pascal, un terme est obtenu en additionnant :
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Réponse : A — les deux termes au-dessus de lui
Relation de Pascal : \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.
8. Le nombre de façons de choisir 2 élèves parmi 4 pour un binôme est :
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Réponse : B — 6
\binom{4}{2} = 6 binômes possibles.