Corrélation et régression linéaire simple

En biostatistiques, on cherche souvent à savoir si deux variables quantitatives sont liées. Par exemple, la taille et le poids des individus : plus une personne est grande, plus elle a tendance à être lourde. On parle alors de corrélation positive. Si l’une augmente quand l’autre diminue (comme la consommation de tabac et la capacité respiratoire), la corrélation est négative. Enfin, si aucun lien n’apparaît, on dit qu’il n’y a pas de corrélation linéaire. Le nuage de points (scatter plot) permet de visualiser cette relation.

Le coefficient de corrélation r quantifie la force et le sens de la liaison. Il se calcule à partir de la covariance et des écarts-types : r = Cov(X,Y) / (s_X * s_Y). r est sans unité et toujours compris entre -1 et 1. Plus r est proche de -1 ou 1, plus la corrélation est forte. Un r proche de 0 indique une absence de corrélation linéaire. Attention : r ne détecte que les relations linéaires ; une relation curviligne peut avoir un r proche de 0.

La régression linéaire simple modélise la relation entre une variable explicative X et une variable réponse Y par une droite d’équation Y = a + bX. Le paramètre b est la pente : il représente la variation moyenne de Y lorsque X augmente d’une unité. Le paramètre a est l’ordonnée à l’origine. On estime a et b par la méthode des moindres carrés, qui minimise la somme des carrés des résidus (écarts entre valeurs observées et valeurs prédites). Cette droite permet de prédire Y pour de nouvelles valeurs de X.

Le coefficient de détermination R² mesure la proportion de variance de Y expliquée par X. Il varie de 0 à 1 ; plus il est proche de 1, meilleur est l’ajustement. L’analyse des résidus (différences entre valeurs observées et prédites) permet de vérifier les hypothèses : linéarité, homoscédasticité, indépendance et normalité. Enfin, corrélation n’implique pas causalité : une forte corrélation peut être due à un facteur de confusion.