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Définition et origineLa fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout réel x > 0, ln(x) est l'unique réel y tel que e^y = x. Elle est définie sur ]0 ; +∞[. On a ln(1) = 0 car e^0 = 1, et ln(e) = 1 car e^1 = e. Le nombre e est approximativement 2,718. La fonction ln permet de résoudre des équations exponentielles et modélise des phénomènes de croissance lente (intensité sonore, pH, etc.).
📢 Rappel
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ et à valeurs dans ]0 ; +∞[. Elle admet donc une fonction réciproque sur ]0 ; +∞[.
💡 À retenir : ln(x) = y ⇔ e^y = x
🧮
Règles de calculLa fonction ln transforme les produits en sommes, ce qui simplifie de nombreux calculs. Pour tous réels a > 0 et b > 0, et tout entier relatif n : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a - ln b, ln(1/a) = -ln a, ln(a^n) = n ln a. Ces formules sont essentielles pour résoudre des équations ou manipuler des expressions logarithmiques. Exemple : ln(6) - ln(2) + ln(3) = ln(6/2) + ln(3) = ln(3) + ln(3) = 2 ln(3).
⭐ À retenir
ln(a^n) = n ln a, valable pour tout n entier relatif et a > 0.
🔍 Exemple
Simplifier ln(8) : ln(8) = ln(2^3) = 3 ln(2).
💡 À retenir : ln(ab) = ln a + ln b
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Étude de la fonctionLa fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est ln'(x) = 1/x. Comme 1/x > 0 pour tout x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur son domaine. Ses limites sont : lim (x→0+) ln x = -∞ et lim (x→+∞) ln x = +∞. La courbe représentative admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale. La dérivée de ln(u) est u'/u, ce qui permet d'intégrer des fonctions rationnelles.
📢 Rappel
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors (ln(u))' = u'/u.
💡 À retenir : ln'(x) = 1/x, donc ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
⚖️
ApplicationsGrâce à la stricte croissance de ln, on a : ln a = ln b ⇔ a = b, et ln a > ln b ⇔ a > b (avec a,b > 0). Ces équivalences permettent de résoudre des équations contenant des exponentielles ou des logarithmes. Exemple concret : un capital C double lorsque ln(C) + ln(1+t)^n = ln(2C), soit n ln(1+t) = ln 2. Le logarithme est aussi utilisé pour l'échelle des pH (pH = -ln[H₃O⁺]) ou le niveau sonore en décibels.
🔍 Exemple
Résoudre ln(2x+1) = ln(x+3) : on pose 2x+1 = x+3, donc x = 2. Vérification : 2x+1=5>0, x+3=5>0.
💡 À retenir : ln a = ln b ⇔ a = b (a,b > 0)