Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout réel x > 0, ln(x) est l'unique réel y tel que e^y = x. Elle est définie sur ]0 ; +∞[. On a ln(1) = 0 car e^0 = 1, et ln(e) = 1 car e^1 = e. Le nombre e est approximativement 2,718. La fonction ln permet de résoudre des équations exponentielles et modélise des phénomènes de croissance lente (intensité sonore, pH, etc.).

La fonction ln transforme les produits en sommes, ce qui simplifie de nombreux calculs. Pour tous réels a > 0 et b > 0, et tout entier relatif n : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a - ln b, ln(1/a) = -ln a, ln(a^n) = n ln a. Ces formules sont essentielles pour résoudre des équations ou manipuler des expressions logarithmiques. Exemple : ln(6) - ln(2) + ln(3) = ln(6/2) + ln(3) = ln(3) + ln(3) = 2 ln(3).

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est ln'(x) = 1/x. Comme 1/x > 0 pour tout x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur son domaine. Ses limites sont : lim (x→0+) ln x = -∞ et lim (x→+∞) ln x = +∞. La courbe représentative admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale. La dérivée de ln(u) est u'/u, ce qui permet d'intégrer des fonctions rationnelles.

Grâce à la stricte croissance de ln, on a : ln a = ln b ⇔ a = b, et ln a > ln b ⇔ a > b (avec a,b > 0). Ces équivalences permettent de résoudre des équations contenant des exponentielles ou des logarithmes. Exemple concret : un capital C double lorsque ln(C) + ln(1+t)^n = ln(2C), soit n ln(1+t) = ln 2. Le logarithme est aussi utilisé pour l'échelle des pH (pH = -ln[H₃O⁺]) ou le niveau sonore en décibels.