Mathématiques · 1ere

Probabilités conditionnelles

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

Une probabilité conditionnelle réévalue la chance d'un événement en tenant compte d'une information connue.

Chapitre 2 — Construire un arbre pondéré

Un arbre pondéré traduit les probabilités conditionnelles et facilite les calculs.

Chapitre 3 — Événements indépendants

$A$ et $B$ indépendants $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Chapitre 4 — Probabilités totales

La formule des probabilités totales permet de calculer $P(B)$ en décomposant selon une partition.

Teste-toi

1. Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte. On note $A$ l'événement « la carte est un as » et $B$ « la carte est un cœur ». Que vaut $P_A(B)$ ?

A1/13
B1/4
C1/52
D4/13
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Réponse : B — 1/4

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/52}{4/52} = \frac{1}{4}$.

2. Si $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ et $P(A \cap B)=0{,}3$, les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

AOui, car $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$
BNon, car $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$
COui, car $P(A \cap B)=0{,}3$
DOn ne peut pas savoir
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Réponse : A — Oui, car $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$

$0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3 = P(A \cap B)$, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

3. Dans un arbre pondéré, la probabilité inscrite sur une branche issue d'un nœud est toujours :

Aune probabilité conditionnelle
Bune probabilité simple
Cune probabilité totale
Dune probabilité intersection
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Réponse : A — une probabilité conditionnelle

Sur un arbre, les branches de deuxième niveau (et au-delà) portent des probabilités conditionnelles.

4. Soit $P(A)=0{,}4$, $P_A(B)=0{,}7$, $P_{\overline{A}}(B)=0{,}2$. Calculez $P(B)$.

A0,28
B0,40
C0,36
D0,48
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Réponse : B — 0,40

$P(B) = 0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}28 + 0{,}12 = 0{,}40$.

5. Parmi ces affirmations, laquelle est vraie pour deux événements indépendants $A$ et $B$ avec $P(A) \neq 0$ ?

A$P_A(B) = P(B)$
B$P_A(B) = P(A)$
C$P(A \cap B) = 0$
D$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
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Réponse : A — $P_A(B) = P(B)$

L'indépendance signifie que la probabilité de $B$ n'est pas affectée par $A$, donc $P_A(B) = P(B)$.

6. On lance un dé équilibré à 6 faces. $A$ : « obtenir un nombre pair », $B$ : « obtenir un multiple de 3 ». $P_A(B)$ vaut :

A1/3
B1/2
C1/6
D2/3
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Réponse : A — 1/3

$A=\{2,4,6\}$, $B=\{3,6\}$, $A \cap B = \{6\}$. $P(A)=1/2$, $P(A \cap B)=1/6$, donc $P_A(B) = (1/6)/(1/2)=1/3$.

7. La formule des probabilités totales s'applique lorsque :

Aon connaît les probabilités conditionnelles par rapport à une partition de l'univers
Bles événements sont indépendants
Con utilise un arbre non pondéré
D$P(A)=0$
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Réponse : A — on connaît les probabilités conditionnelles par rapport à une partition de l'univers

Elle nécessite une partition (souvent $A$ et $\overline{A}$) et les probabilités conditionnelles associées.

8. Si $P(A)=0{,}2$, $P(B)=0{,}9$ et $P(A \cap B)=0{,}18$, alors on peut affirmer que :

A$A$ et $B$ sont indépendants
B$A$ et $B$ sont incompatibles
C$P(A \cup B)=1$
D$P_A(B)=0{,}2$
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Réponse : A — $A$ et $B$ sont indépendants

$0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18 = P(A \cap B)$, donc indépendants. $P_A(B)=0{,}18/0{,}2=0{,}9$, pas $0{,}2$.

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