Loi normale et théorème de Moivre-Laplace
Fiche de révision · Mathématiques · Term
L'essentiel du cours
Chapitre 1 : Le théorème de Moivre-Laplace
Pour n grand, la binomiale centrée réduite converge vers la loi normale centrée réduite.
Chapitre 2 : Loi normale centrée réduite N(0,1)
La loi N(0,1) est centrée en 0, symétrique, d’écart-type 1.
Chapitre 3 : Paramètres μ et σ
μ centre la courbe, σ contrôle son étalement.
Chapitre 4 : Calculs de probabilités
La calculatrice donne directement les probabilités pour une loi normale.
Teste-toi · 8 questions
1.Le théorème de Moivre-Laplace concerne l’approximation de quelle loi ?
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Réponse : La loi binomiale par la loi normale
Il relie la binomiale centrée réduite à la loi normale centrée réduite quand n est grand.
2.Quelle est l’espérance de la loi normale centrée réduite N(0,1) ?
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Réponse : 0
Par définition, N(0,1) a pour espérance 0 et écart-type 1.
3.Pour X~N(μ,σ²), quelle est la probabilité P(μ-σ≤X≤μ+σ) environ ?
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Réponse : 0,68
Environ 68% des valeurs sont à moins d’un écart-type de la moyenne.
4.Quelle transformation permet de passer de X~N(μ,σ²) à une loi N(0,1) ?
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Réponse : Z=(X-μ)/σ
On centre en soustrayant μ puis on réduit en divisant par σ.
5.Si X~N(50,10²), que vaut environ P(40≤X≤60) ?
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Réponse : 0,68
40=50-10 et 60=50+10, donc c’est l’intervalle à un écart-type : environ 0,68.
6.Quelle est l’aire totale sous la courbe de densité d’une loi normale ?
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Réponse : 1
Toute densité de probabilité a une aire totale égale à 1.
7.Pour utiliser l’approximation de Moivre-Laplace, on exige en pratique :
- A.n≥30, np≥5, n(1-p)≥5
- B.p=0,5 uniquement
- C.n≤30, np≤5
- D.n quelconque
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Réponse A : n≥30, np≥5, n(1-p)≥5
Ces conditions garantissent une bonne approximation de la binomiale par la normale.
8.La courbe de la loi N(0,1) est symétrique par rapport à :
- A.x=μ
- B.x=0
- C.x=σ
- D.x=1
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Réponse B : x=0
La loi centrée réduite a pour axe de symétrie la droite x=0.