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Loi normale et théorème de Moivre-Laplace

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Le théorème de Moivre-Laplace

Pour n grand, la binomiale centrée réduite converge vers la loi normale centrée réduite.

Chapitre 2 — Loi normale centrée réduite N(0,1)

La loi N(0,1) est centrée en 0, symétrique, d’écart-type 1.

Chapitre 3 — Paramètres μ et σ

μ centre la courbe, σ contrôle son étalement.

Chapitre 4 — Calculs de probabilités

La calculatrice donne directement les probabilités pour une loi normale.

Teste-toi

1. Le théorème de Moivre-Laplace concerne l’approximation de quelle loi ?

AA. La loi binomiale par la loi normale
BB. La loi normale par la loi binomiale
CC. La loi de Poisson par la loi normale
DD. La loi uniforme par la loi exponentielle
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Réponse : A — A. La loi binomiale par la loi normale

Il relie la binomiale centrée réduite à la loi normale centrée réduite quand n est grand.

2. Quelle est l’espérance de la loi normale centrée réduite N(0,1) ?

AA. 0
BB. 1
CC. μ
DD. σ
Voir la réponse

Réponse : A — A. 0

Par définition, N(0,1) a pour espérance 0 et écart-type 1.

3. Pour X~N(μ,σ²), quelle est la probabilité P(μ-σ≤X≤μ+σ) environ ?

AA. 0,50
BB. 0,68
CC. 0,95
DD. 0,997
Voir la réponse

Réponse : B — B. 0,68

Environ 68% des valeurs sont à moins d’un écart-type de la moyenne.

4. Quelle transformation permet de passer de X~N(μ,σ²) à une loi N(0,1) ?

AA. Z=(X-μ)/σ
BB. Z=(X+μ)/σ
CC. Z=X/σ
DD. Z=X-μ
Voir la réponse

Réponse : A — A. Z=(X-μ)/σ

On centre en soustrayant μ puis on réduit en divisant par σ.

5. Si X~N(50,10²), que vaut environ P(40≤X≤60) ?

AA. 0,50
BB. 0,68
CC. 0,95
DD. 0,997
Voir la réponse

Réponse : B — B. 0,68

40=50-10 et 60=50+10, donc c’est l’intervalle à un écart-type : environ 0,68.

6. Quelle est l’aire totale sous la courbe de densité d’une loi normale ?

AA. 0,5
BB. 1
CC. μ
DD. σ
Voir la réponse

Réponse : B — B. 1

Toute densité de probabilité a une aire totale égale à 1.

7. Pour utiliser l’approximation de Moivre-Laplace, on exige en pratique :

AA. n≥30, np≥5, n(1-p)≥5
BB. n≤30, np≤5
CC. p=0,5 uniquement
DD. n quelconque
Voir la réponse

Réponse : A — A. n≥30, np≥5, n(1-p)≥5

Ces conditions garantissent une bonne approximation de la binomiale par la normale.

8. La courbe de la loi N(0,1) est symétrique par rapport à :

AA. x=1
BB. x=0
CC. x=σ
DD. x=μ
Voir la réponse

Réponse : B — B. x=0

La loi centrée réduite a pour axe de symétrie la droite x=0.

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