Produit scalaire dans le plan

Le produit scalaire est un outil qui permet de mesurer l'effet d'un vecteur sur un autre. Si deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) forment un angle \( \theta \), leur produit scalaire est le nombre réel défini par \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta) \). Ce nombre peut être positif, négatif ou nul selon l'angle. Il est utilisé en physique pour calculer le travail d'une force : \( W = \vec{F} \cdot \vec{AB} \). Plus l'angle est proche de 0°, plus le produit scalaire est grand.

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule simplement à partir des coordonnées des vecteurs. Si \( \vec{u}(x;y) \) et \( \vec{v}(x';y') \), alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' \). Cette formule évite d'avoir à déterminer l'angle entre les vecteurs. Elle permet de vérifier rapidement l'orthogonalité : il suffit que cette somme soit nulle. On l'utilisera dans de nombreux exercices de géométrie analytique.

Le produit scalaire possède des propriétés qui simplifient les calculs. Il est symétrique : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \). Il est bilinéaire : on peut développer \( (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} \). Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme : \( \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \). Enfin, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Le produit scalaire permet de calculer l'angle entre deux vecteurs : \( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \). Il donne aussi l'équation d'une droite : si \( \vec{n}(a;b) \) est un vecteur normal, la droite a une équation de la forme \( ax + by + c = 0 \). Enfin, il intervient dans les projections orthogonales et dans des théorèmes comme celui d'Al-Kashi. Ces applications relient l'algèbre et la géométrie.