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Produit scalaire dans le plan

Fiche de révision · Mathématiques · 1ère

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Du travail d'une force au produit scalaire

    Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur : il mesure l'effet mutuel de deux vecteurs.

  2. Chapitre 2 : Expression analytique dans un repère orthonormé

    La formule analytique \( x x' + y y' \) rend le produit scalaire très rapide à calculer.

  3. Chapitre 3 : Propriétés et orthogonalité

    Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls.

  4. Chapitre 4 : Applications en géométrie

    Un vecteur normal à une droite fournit directement les coefficients \( a \) et \( b \) de son équation cartésienne.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Le produit scalaire de deux vecteurs est :

    1. A.un nombre réel
    2. B.un angle
    3. C.un vecteur
    4. D.une norme
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    Réponse A : un nombre réel

    Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel, positif, négatif ou nul.

  2. 2.Si \( \|\vec{u}\| = 5 \), \( \|\vec{v}\| = 2 \) et l'angle \( (\vec{u},\vec{v}) = 60° \), alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) vaut :

    1. A.10
    2. B.0
    3. C.5
    4. D.5√3
    Voir la réponse

    Réponse C : 5

    5 × 2 × cos(60°) = 10 × 0,5 = 5.

  3. 3.Dans un repère orthonormé, si \( \vec{u}(2;-1) \) et \( \vec{v}(-3;4) \), alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) vaut :

    1. A.10
    2. B.2
    3. C.-10
    4. D.-2
    Voir la réponse

    Réponse C : -10

    2 × (-3) + (-1) × 4 = -6 - 4 = -10.

  4. 4.Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :

    1. A.leur norme est égale
    2. B.leur produit scalaire est nul
    3. C.ils sont colinéaires
    4. D.leur produit scalaire vaut 1
    Voir la réponse

    Réponse B : leur produit scalaire est nul

    C'est la propriété fondamentale : orthogonalité équivaut à produit scalaire nul.

  5. 5.Pour tout vecteur \( \vec{u} \), le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) est égal à :

    1. A.\( \|\vec{u}\|^2 \)
    2. B.\( \|\vec{u}\| \)
    3. C.0
    4. D.\( 2\|\vec{u}\| \)
    Voir la réponse

    Réponse A : \( \|\vec{u}\|^2 \)

    Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme, toujours positif ou nul.

  6. 6.Un vecteur normal à la droite d'équation \( 2x - 3y + 5 = 0 \) est :

    1. A.\( \vec{n}(5;2) \)
    2. B.\( \vec{n}(2;-3) \)
    3. C.\( \vec{n}(-3;2) \)
    4. D.\( \vec{n}(2;3) \)
    Voir la réponse

    Réponse B : \( \vec{n}(2;-3) \)

    Les coefficients de x et y dans l'équation cartésienne donnent les coordonnées d'un vecteur normal : (2 ; -3).

  7. 7.Si \( \vec{u}(1;2) \) et \( \vec{v}(-2;1) \), alors ces deux vecteurs sont :

    1. A.opposés
    2. B.égaux
    3. C.colinéaires
    4. D.orthogonaux
    Voir la réponse

    Réponse D : orthogonaux

    1 × (-2) + 2 × 1 = 0, donc leur produit scalaire est nul : ils sont orthogonaux.

  8. 8.Pour calculer l'angle \( \theta \) entre deux vecteurs non nuls, on utilise :

    1. A.\( \tan\theta = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \)
    2. B.\( \sin\theta = \vec{u} \cdot \vec{v} \)
    3. C.\( \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \)
    4. D.\( \cos\theta = \vec{u} \cdot \vec{v} \)
    Voir la réponse

    Réponse C : \( \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \)

    La formule du cosinus relie le produit scalaire aux normes des vecteurs.