Statistiques inférentielles : intervalles de confiance et tests d'hypothèses

Lorsqu'on prélève un échantillon aléatoire de taille n dans une population où la proportion d'un caractère est p, la fréquence f observée varie d'un échantillon à l'autre. Cette variabilité s'appelle la fluctuation d'échantillonnage. Pour n assez grand (n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5), la distribution de f se rapproche d'une loi normale. On peut alors prévoir, avec une probabilité de 95%, dans quelle zone f va se trouver. Cette zone est l'intervalle de fluctuation. Il sert de référence pour décider si un résultat est compatible avec la valeur p supposée.

Sous l'hypothèse que la proportion dans la population est p, pour un échantillon de taille n, la fréquence f a 95% de chances d'appartenir à l'intervalle de fluctuation asymptotique. On utilise la loi normale centrée réduite : 95% des valeurs sont entre -1,96 et 1,96. On obtient alors les bornes ci-dessous. Si f sort de cet intervalle, on considère que l'écart avec p est trop grand pour être dû au hasard (au risque 5%).

Lorsqu'on ne connaît pas p mais qu'on dispose d'une fréquence observée f sur un échantillon de taille n, on peut estimer p par un intervalle de confiance. Au niveau de confiance 95%, on utilise la formule simplifiée avec une marge d'erreur de 1/√n. Cela signifie que si on répétait l'expérience un grand nombre de fois, environ 95% des intervalles construits contiendraient la vraie proportion p. Plus n est grand, plus l'intervalle est étroit, donc plus l'estimation est précise.

Un test d'hypothèse confronte une hypothèse nulle H0 (par exemple p=0,5) aux données observées. On construit l'intervalle de fluctuation sous H0 au risque 5%. Si la fréquence observée f appartient à cet intervalle, on ne rejette pas H0 : l'écart est compatible avec le hasard. Si f est en dehors, on rejette H0 : l'écart est statistiquement significatif. Le risque de rejeter H0 à tort s'appelle le risque de première espèce, noté α, ici α=0,05.