Statistiques à deux variables

Une série statistique à deux variables associe à chaque individu deux valeurs numériques, notées x_i et y_i. On la représente dans un repère orthogonal par un nuage de points, chaque point ayant pour coordonnées (x_i ; y_i). Le point moyen G, de coordonnées (\bar{x} ; \bar{y}), résume la position centrale du nuage. Il correspond au centre de gravité de l'ensemble des points. Son calcul utilise les moyennes arithmétiques des deux séries.

Lorsque le nuage de points a une forme allongée, on peut chercher une droite qui résume la tendance : c'est l'ajustement affine. La droite des moindres carrés est la droite d'équation y = a x + b qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Le coefficient directeur a se calcule à partir de la covariance et de la variance de x. L'ordonnée à l'origine b se déduit ensuite en utilisant le point moyen : b = \bar{y} - a \bar{x}.

Le coefficient de corrélation linéaire r mesure l'intensité et le sens du lien entre les deux variables. Il est toujours compris entre -1 et 1. Plus r est proche de 1 ou de -1, plus l'ajustement affine est pertinent. Un r proche de 0 indique une absence de lien linéaire, même si une autre relation peut exister. Ce coefficient n'a pas d'unité et ne dépend pas des échelles choisies.

Une fois la droite d'ajustement obtenue, on peut estimer la valeur de y pour une valeur donnée de x en remplaçant x dans l'équation. Si x appartient à l'intervalle des valeurs observées, on parle d'interpolation ; c'est généralement fiable. Si x est hors de cet intervalle, on parle d'extrapolation, qui peut être risquée car la tendance linéaire peut ne pas se prolonger. Il faut toujours vérifier la pertinence du modèle et la présence éventuelle de valeurs aberrantes.