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Produit vectoriel dans l'espace et applications géométriques

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Définir le produit vectoriel

    Le produit vectoriel transforme deux vecteurs en un vecteur perpendiculaire.

  2. Chapitre 2 : Calculer avec les coordonnées

    La formule coordonnée par coordonnée évite les constructions géométriques.

  3. Chapitre 3 : Utiliser le produit vectoriel

    Aire = norme de u∧v ; un vecteur normal = direction de u∧v.

  4. Chapitre 4 : Méthode complète

    Toujours vérifier que le vecteur obtenu est orthogonal aux deux vecteurs de départ.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Le produit vectoriel u∧v est :

    1. A.toujours nul
    2. B.orthogonal à u et à v
    3. C.parallèle à u + v
    4. D.colinéaire à u
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    Réponse B : orthogonal à u et à v

    Par définition, le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur orthogonal à chacun d'eux.

  2. 2.Si u(1;0;0) et v(0;1;0), alors u∧v vaut :

    1. A.(0;0;1)
    2. B.(0;0;0)
    3. C.(0;0;-1)
    4. D.(1;1;0)
    Voir la réponse

    Réponse A : (0;0;1)

    Les vecteurs de base e1 et e2 donnent e3 dans un repère orthonormé direct.

  3. 3.La norme de u∧v est égale à :

    1. A.||u|| ||v|| sin θ
    2. B.||u|| ||v|| |sin θ|
    3. C.||u|| + ||v||
    4. D.||u|| ||v|| cos θ
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    Réponse B : ||u|| ||v|| |sin θ|

    La norme du produit vectoriel est le produit des normes par la valeur absolue du sinus de l'angle.

  4. 4.Le produit vectoriel est :

    1. A.antisymétrique
    2. B.commutatif
    3. C.toujours nul
    4. D.associatif
    Voir la réponse

    Réponse A : antisymétrique

    On a u∧v = − v∧u : changer l'ordre inverse le sens du vecteur.

  5. 5.L'aire du triangle construit sur u et v est :

    1. A.1/2 ||u∧v||
    2. B.2 ||u∧v||
    3. C.||u∧v||
    4. D.||u|| · ||v||
    Voir la réponse

    Réponse A : 1/2 ||u∧v||

    L'aire du parallélogramme est ||u∧v||, donc celle du triangle est la moitié.

  6. 6.Pour u(1;2;3) et v(4;5;6), le produit vectoriel u∧v a pour coordonnées :

    1. A.(-3;-6;3)
    2. B.(3;-6;3)
    3. C.(3;6;-3)
    4. D.(-3;6;-3)
    Voir la réponse

    Réponse D : (-3;6;-3)

    En appliquant la formule : (2×6−3×5 ; 3×4−1×6 ; 1×5−2×4) = (-3;6;-3).

  7. 7.Un vecteur normal au plan passant par A, B et C peut être obtenu par :

    1. A.AC − AB
    2. B.AB + AC
    3. C.AB∧AC
    4. D.AB · AC
    Voir la réponse

    Réponse C : AB∧AC

    Le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan donne un vecteur orthogonal au plan.

  8. 8.Le produit mixte (u∧v)·w correspond :

    1. A.à un vecteur normal
    2. B.à l'aire d'un parallélogramme
    3. C.à la norme de u∧v
    4. D.au volume d'un parallélotope
    Voir la réponse

    Réponse D : au volume d'un parallélotope

    Le produit mixte mesure le volume signé du parallélotope construit sur u, v et w.