Produit vectoriel dans l'espace et applications géométriques

Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de l'espace, noté u∧v, est un vecteur orthogonal à u et à v. Son sens est donné par la règle de la main droite ou du bonhomme d'Ampère. Sa norme vaut le produit des normes par la valeur absolue du sinus de l'angle entre u et v. Si u et v sont colinéaires, leur produit vectoriel est le vecteur nul. Cet outil sert avant tout à fabriquer des vecteurs perpendiculaires à deux directions données.

Dans un repère orthonormé direct, si u a pour coordonnées (x₁, y₁, z₁) et v (x₂, y₂, z₂), alors u∧v a pour coordonnées (y₁z₂ − z₁y₂ ; z₁x₂ − x₁z₂ ; x₁y₂ − y₁x₂). On peut retenir cette formule en pensant au déterminant obtenu en barrant successivement chaque ligne. Ce calcul fournit directement un vecteur normal à u et à v. On vérifie toujours que le résultat est orthogonal aux deux vecteurs de départ par un produit scalaire nul.

La norme du produit vectoriel donne l'aire du parallélogramme construit sur u et v, et l'aire du triangle est la moitié de cette valeur. Le produit vectoriel fournit aussi un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs directeurs. On peut alors déterminer une équation cartésienne de ce plan sous la forme ax + by + cz + d = 0. Enfin, le produit mixte (u∧v)·w donne le volume du parallélotope construit sur les trois vecteurs.

Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan défini par trois points A, B et C, on calcule d'abord les vecteurs AB et AC. On calcule ensuite leur produit vectoriel n = AB∧AC pour obtenir un vecteur normal de coordonnées (a, b, c). On écrit alors ax + by + cz + d = 0 et on remplace par les coordonnées de A pour trouver d. Attention : le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension 3, il est antisymétrique et non associatif.