Les coniques : parabole, ellipse et hyperbole

Une conique est une courbe obtenue en coupant un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Selon l'inclinaison du plan, on obtient une parabole, une ellipse ou une hyperbole. Chaque conique peut aussi être définie par un foyer F, une directrice d et un nombre e appelé excentricité : un point M appartient à la conique si MF = e × d(M,d). Pour la parabole, e = 1 ; pour l'ellipse, 0 < e < 1 ; pour l'hyperbole, e > 1. Le cercle est un cas particulier d'ellipse avec e = 0.

La parabole est l'ensemble des points M équidistants d'un point fixe F appelé foyer et d'une droite fixe d appelée directrice. Dans un repère orthonormé, si le sommet est à l'origine et l'axe est vertical, l'équation réduite est x² = 2 p y, avec le foyer F(0 ; p/2) et la directrice d : y = -p/2. Le paramètre p mesure l'ouverture de la parabole. Les antennes paraboliques et les phares de voiture utilisent une propriété remarquable : tout rayon parallèle à l'axe se réfléchit en passant par le foyer.

L'ellipse est l'ensemble des points M dont la somme des distances à deux foyers F et F' est constante : MF + MF' = 2a. Dans un repère centré en O, l'équation réduite est x²/a² + y²/b² = 1, avec a > b. Les foyers sont sur le grand axe aux points F(c ; 0) et F'(-c ; 0), où c² = a² - b². L'excentricité vaut e = c/a et reste strictement inférieure à 1. Les orbites des planètes autour du Soleil sont des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers.

L'hyperbole est l'ensemble des points M dont la différence des distances à deux foyers F et F' est constante en valeur absolue : |MF - MF'| = 2a. Son équation réduite centrée en O est x²/a² - y²/b² = 1, avec les foyers F(c ; 0) et F'(-c ; 0) où c² = a² + b². Elle possède deux asymptotes d'équations y = (b/a)x et y = -(b/a)x. L'excentricité e = c/a est strictement supérieure à 1. Certaines comètes suivent une trajectoire hyperbolique et ne reviennent jamais près du Soleil.