Estimation ponctuelle et intervalles de confiance
Fiche de révision · Biostatistiques · PASS
L'essentiel du cours
Chapitre 1 : Pourquoi estimer ?
Un estimateur est une variable aléatoire calculée à partir de l'échantillon pour approcher un paramètre inconnu de la population.
Chapitre 2 : Estimation ponctuelle
Un bon estimateur est sans biais (E(estimateur) = paramètre) et convergent (sa variance diminue quand n augmente).
Chapitre 3 : Intervalle de confiance
L'intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne est : x̄ ± 1,96 × (σ/√n).
Chapitre 4 : Interprétation correcte
On ne parle pas de probabilité pour un intervalle calculé, mais de confiance dans la méthode.
Teste-toi · 8 questions
1.Qu'est-ce qu'un estimateur en statistique ?
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Réponse : Une variable aléatoire calculée à partir de l'échantillon
Un estimateur est une statistique (variable aléatoire) utilisée pour estimer un paramètre inconnu de la population.
2.Quelle est la valeur z pour un intervalle de confiance à 95 % ?
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Réponse : 1,96
Pour un niveau de confiance de 95 %, la valeur critique z est 1,96 (issue de la loi normale centrée réduite).
3.Si on augmente la taille de l'échantillon, que devient la marge d'erreur d'un intervalle de confiance pour une moyenne ?
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Réponse : Elle diminue
La marge d'erreur est proportionnelle à 1/√n. Quand n augmente, la marge d'erreur diminue, donc l'intervalle est plus précis.
4.Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne est [4,2 ; 5,8]. Quelle est l'interprétation correcte ?
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Réponse : Si on répétait l'échantillonnage, 95 % des intervalles contiendraient la vraie moyenne.
L'interprétation fréquentiste correcte porte sur la méthode : 95 % des intervalles construits de cette façon captureront le paramètre.
5.On mesure la taille de 64 étudiants : moyenne = 170 cm, écart-type connu σ = 8 cm. Quel est l'intervalle de confiance à 95 % pour la taille moyenne de la population ?
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Réponse : [168,04 ; 171,96]
IC = 170 ± 1,96 × (8/√64) = 170 ± 1,96 × 1 = [168,04 ; 171,96].
6.Quel est l'effet d'augmenter le niveau de confiance de 95 % à 99 % sur l'intervalle ?
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Réponse : L'intervalle devient plus large
Un niveau de confiance plus élevé nécessite une valeur z plus grande (2,58 au lieu de 1,96), donc l'intervalle s'élargit.
7.Dans une étude, la proportion d'étudiants fumeurs dans un échantillon de 200 est de 0,30. Quel est l'intervalle de confiance à 95 % pour la proportion dans la population ? (utiliser la formule approchée p ± 1,96 × √(p(1-p)/n) )
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Réponse : [0,24 ; 0,36]
√(0,3×0,7/200) = √(0,21/200) = √0,00105 ≈ 0,0324. Marge = 1,96 × 0,0324 ≈ 0,0635. IC = [0,3 - 0,0635 ; 0,3 + 0,0635] = [0,2365 ; 0,3635] arrondi à [0,24 ; 0,36].
8.Quelle condition est nécessaire pour utiliser l'intervalle de confiance basé sur la loi normale pour une moyenne ?
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Réponse : L'échantillon doit être grand (n ≥ 30) ou la variable normale
Le théorème central limite permet d'utiliser la loi normale si n ≥ 30, même si la variable n'est pas normale. Si n < 30, la normalité de la variable est requise.