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Séries numériques et convergence

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Qu'est-ce qu'une série numérique ?

    Une série converge si ses sommes partielles tendent vers un nombre fini.

  2. Chapitre 2 : Convergence et divergence

    u_n → 0 est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

  3. Chapitre 3 : Séries géométriques

    Pour |q| < 1, la somme infinie des q^n vaut 1/(1−q).

  4. Chapitre 4 : Critères de convergence

    Comparer à une série de Riemann permet souvent de conclure sur la convergence.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Que signifie qu'une série numérique ∑u_n converge ?

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    Réponse : Les sommes partielles S_n tendent vers une limite finie

    La convergence d'une série est définie par la convergence de la suite de ses sommes partielles.

  2. 2.Quelle est la somme de la série géométrique ∑_{n=0}^{∞} (1/2)^n ?

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    Réponse : 2

    Ici q = 1/2, |q| < 1, donc la somme vaut 1/(1−1/2) = 2.

  3. 3.La série harmonique ∑_{n=1}^{∞} 1/n est :

    1. A.Convergente vers 1
    2. B.Ni convergente ni divergente
    3. C.Convergente vers e
    4. D.Divergente
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    Réponse D : Divergente

    Bien que 1/n tende vers 0, les sommes partielles croissent comme ln(n) et divergent.

  4. 4.Quelle condition est nécessaire pour que ∑u_n converge ?

    Voir la réponse

    Réponse : u_n tend vers 0

    Si une série converge, son terme général doit tendre vers 0, mais cette condition n'est pas suffisante.

  5. 5.Pour quelles valeurs de α la série de Riemann ∑1/n^α converge-t-elle ?

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    Réponse : α > 1

    Les séries de Riemann convergent si α > 1 et divergent si α ≤ 1.

  6. 6.La série ∑_{n=0}^{∞} 2^n est :

    1. A.Convergente vers 2
    2. B.Convergente vers −1
    3. C.Convergente vers 1/2
    4. D.Divergente car q = 2 > 1
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    Réponse D : Divergente car q = 2 > 1

    Pour une série géométrique, il faut |q| < 1. Ici q = 2, donc le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge.

  7. 7.La somme 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... vaut :

    1. A.3
    2. B.3/2
    3. C.1/2
    4. D.2/3
    Voir la réponse

    Réponse B : 3/2

    C'est une série géométrique de raison 1/3, donc somme = 1/(1−1/3) = 3/2.

  8. 8.Si u_n = 1/n^2, que peut-on dire de ∑u_n ?

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    Réponse : Elle converge car α = 2 > 1

    C'est une série de Riemann avec α = 2 > 1, donc elle converge.