Programmation linéaire et optimisation
Fiche de révision · Mathématiques · 1ère
L'essentiel du cours
Chapitre 1 : Mise en équations du problème
Un problème d'optimisation se transforme en un système d'inéquations à deux inconnues.
Chapitre 2 : Le domaine réalisable
Le domaine réalisable est l'intersection de tous les demi-plans solutions.
Chapitre 3 : Fonction objectif et droites de niveau
La fonction objectif z = ax + by est représentée par des droites parallèles de niveau k.
Chapitre 4 : Trouver l'optimum graphiquement
L'optimum est atteint en un sommet du domaine réalisable, ou sur tout un côté si les droites sont parallèles.
Teste-toi · 8 questions
1.Dans un problème de programmation linéaire, les contraintes de positivité s'écrivent :
- A.x ≥ 0 et y ≥ 0
- B.x ≤ 0 et y ≤ 0
- C.x ≠ 0 et y ≠ 0
- D.x > 0 et y > 0
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Réponse A : x ≥ 0 et y ≥ 0
Les quantités produites ne peuvent pas être négatives, d'où x ≥ 0 et y ≥ 0.
2.La droite d'équation 2x + 3y = 6 passe par les points :
- A.(0 ; 3) et (2 ; 0)
- B.(0 ; 0) et (1 ; 1)
- C.(0 ; 6) et (6 ; 0)
- D.(0 ; 2) et (3 ; 0)
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Réponse D : (0 ; 2) et (3 ; 0)
En posant x = 0, on obtient 3y = 6 donc y = 2 ; en posant y = 0, on obtient 2x = 6 donc x = 3.
3.Le domaine réalisable est :
- A.l'ensemble des points vérifiant toutes les contraintes
- B.l'ensemble des points où la fonction objectif est nulle
- C.l'ensemble des points vérifiant au moins une contrainte
- D.une droite unique
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Réponse A : l'ensemble des points vérifiant toutes les contraintes
Le domaine réalisable regroupe tous les couples (x ; y) qui satisfont simultanément toutes les inéquations du système.
4.La fonction objectif z = 4x + 2y est représentée par :
- A.des droites perpendiculaires
- B.une parabole
- C.des droites parallèles de coefficient directeur -2
- D.un cercle
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Réponse C : des droites parallèles de coefficient directeur -2
En isolant y, on obtient y = -2x + z/2, donc toutes les droites de niveau ont pour coefficient directeur -2 et sont parallèles.
5.Pour maximiser une fonction objectif, on translate la droite de niveau :
- A.parallèlement à l'axe des ordonnées
- B.dans n'importe quel sens
- C.vers l'origine uniquement
- D.dans le sens qui augmente la valeur de z jusqu'au dernier contact avec le domaine
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Réponse D : dans le sens qui augmente la valeur de z jusqu'au dernier contact avec le domaine
On déplace la droite de niveau dans le sens de croissance de z ; le dernier point de contact avec le domaine réalisable correspond au maximum.
6.Si le domaine réalisable est le triangle de sommets (0 ; 0), (4 ; 0), (0 ; 6), où peut se trouver l'optimum de z = x + y ?
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Réponse : (0 ; 6)
On évalue z en chaque sommet : z(0 ; 0) = 0, z(4 ; 0) = 4, z(0 ; 6) = 6. Le maximum est donc atteint en (0 ; 6).
7.Les coordonnées des sommets du domaine s'obtiennent en résolvant :
- A.n'importe quelle inéquation
- B.les systèmes formés par deux équations de droites frontières
- C.la fonction objectif égale à zéro
- D.une seule équation
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Réponse B : les systèmes formés par deux équations de droites frontières
Un sommet est l'intersection de deux droites frontières ; on résout donc le système de leurs deux équations.
8.Une droite de niveau de la fonction z = 3x + 2y a pour équation :
- A.3x - 2y = k
- B.3x + 2y = k
- C.x + y = k
- D.2x + 3y = k
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Réponse B : 3x + 2y = k
Par définition, une droite de niveau correspond à z = k, donc 3x + 2y = k.